Bài 106753

Question

Trong hệ tọa độ trực chuẩn $Oxyz$, cho đường thẳng ($d$):$\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{z}{1}$ và mặt phẳng ($P$): $2x + y - 2z + 2 = 0$
$1.$ Lập phương trình mặt cầu ($C$) có tâm nằm trên đường thẳng ($d$), tiếp xúc với mặt phẳng ($P$) và có
bán kính bằng $1.$
$2.$ Gọi $M$ là giao điểm của mặt phẳng ($P$) với đường thẳng ($d$); $T$ là tiếp điểm của mặt cầu ($C$) với
mặt phẳng $(P)$. Tính $MT.$

score 0 · Answer 1

$1.$ Tâm $I$ của mặt cầu ($C$) nằm trên ($d$) nên $I$ có tọa độ $(1+3t; -2+t; t).$
$\begin{array}{l}
d(I;(P)) = R\\
\Leftrightarrow \frac{{\left| {2(1 + 3t) + ( - 2 + t) - 2t + 2} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = 1\\
\Leftrightarrow |5 + 2t| = 3\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = - 1\\
t = \frac{1}{5}
\end{array} \right.
\end{array}$
+$ t = -1$ thì $I(-2; -3; -1)$. Phương trình mặt cầu $(C)$ có phương trình:
${(x + 2)^2} + {(y + 3)^2} + {(z + 1)^2} = 1 (1)$
+ $t =\frac{1}{5} $ thì $I(\frac{8}{5}; - \frac{9}{5};\frac{1}{5})$, mặt cầu $(C)$ có phương trình :
${(x - \frac{8}{5})^2} + {(y + \frac{9}{5})^2} + {(z - \frac{1}{5})^2} = 1\,\,(2)\,$
$2.$ Chú ý rằng ${I_1};{I_2}$ cách đều $P$ và cùng thuộc $d$ nên $M$ là trung điểm của $I_1I_2$. Do đó:
${I_1}M = \frac{1}{2}{I_1}{I_2} = \frac{{3\sqrt {11} }}{5}$
Gọi $T$ là tiếp điểm mặt cầu ($1$) với mặt phẳng ($P$), ta có:
$\begin{array}{l}
M{T^2} = {I_1}{M^2} - {I_1}{T^2} = \frac{{74}}{{25}}\\
\Rightarrow MT = \frac{{\sqrt {74} }}{5}
\end{array}$
Trường hợp $T$ là tiếp điểm mặt cầu ($2$) với mặt phẳng ($P$) ta cũng có $MT = \frac{{\sqrt {74} }}{5}$

Bài 106753

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106753

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan