Bài 106753

Question

Trong hệ tọa độ trực chuẩn

$Oxyz$ , cho đường thẳng (

$d$ ):

$\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{z}{1}$ và mặt phẳng (

$P$ ):

$2x + y - 2z + 2 = 0$

$1.$ Lập phương trình mặt cầu (

$C$ ) có tâm nằm trên đường thẳng (

$d$ ), tiếp xúc với mặt phẳng (

$P$ ) và có
bán kính bằng

$1.$

$2.$ Gọi

$M$ là giao điểm của mặt phẳng (

$P$ ) với đường thẳng (

$d$ );

$T$ là tiếp điểm của mặt cầu (

$C$ ) với
mặt phẳng

$(P)$ . Tính

$MT.$

score 0 · Answer 1

$1.$ Tâm

$I$ của mặt cầu (

$C$ ) nằm trên (

$d$ ) nên

$I$ có tọa độ

$(1+3t; -2+t; t).$

$\begin{array}{l} d(I;(P)) = R\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {2(1 + 3t) + ( - 2 + t) - 2t + 2} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = 1\\ \Leftrightarrow |5 + 2t| = 3\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 1\\ t = \frac{1}{5} \end{array} \right. \end{array}$
+

$t = -1$ thì

$I(-2; -3; -1)$ . Phương trình mặt cầu

$(C)$ có phương trình:

${(x + 2)^2} + {(y + 3)^2} + {(z + 1)^2} = 1 (1)$
+

$t =\frac{1}{5}$ thì

$I(\frac{8}{5}; - \frac{9}{5};\frac{1}{5})$ , mặt cầu

$(C)$ có phương trình :

${(x - \frac{8}{5})^2} + {(y + \frac{9}{5})^2} + {(z - \frac{1}{5})^2} = 1\,\,(2)\,$

$2.$ Chú ý rằng

${I_1};{I_2}$ cách đều

$P$ và cùng thuộc

$d$ nên

$M$ là trung điểm của

$I_1I_2$ . Do đó:

${I_1}M = \frac{1}{2}{I_1}{I_2} = \frac{{3\sqrt {11} }}{5}$
Gọi

$T$ là tiếp điểm mặt cầu (

$1$ ) với mặt phẳng (

$P$ ), ta có:

$\begin{array}{l} M{T^2} = {I_1}{M^2} - {I_1}{T^2} = \frac{{74}}{{25}}\\ \Rightarrow MT = \frac{{\sqrt {74} }}{5} \end{array}$
Trường hợp

$T$ là tiếp điểm mặt cầu (

$2$ ) với mặt phẳng (

$P$ ) ta cũng có

$MT = \frac{{\sqrt {74} }}{5}$

Bài 106753

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106753

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan