Bài 105954

Question

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề các vuông góc $Oxy$, xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, phương trình đường thẳng $BC$ là $\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$, các đỉnh $A$ và $B$ thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.

phuongna · Answer 1 · 5/28/2012 5:14:51 PM

Ta có : $BC \cap Ox =B(1;0).$
Do $A \in Ox $ nên gọi $A (a;0)$ nên $x_{C}=a\Rightarrow y_{C}=\sqrt{3}x_C-\sqrt{3}.$ Vậy $C(a;\sqrt{3}a-\sqrt{3}$).
Từ công thức: $\left\{ \begin{array}{l} x_{G}=\frac{1}{3}(x_{A}+x_{B}+x_{C})\\y_{G}=\frac{1}{3}(y_{A}+y_{B}+y_{C}) \end{array} \right.$
Ta có $G\left ( \frac{2a+1}{3};\frac{\sqrt{3}(a-1)}{3} \right )$
Cách 1.
Ta có: $AB=|a-1|, AC=\sqrt{3}|a-1|, BC=2|a-1|$
Do đó: $ S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{\sqrt{3}}{2}(a-1)^2$
Ta có: $r=\frac{2S}{AB+AC+BC}=\frac{\sqrt{3}(a-1)^2}{3|a-1|+\sqrt{3}|a-1|}=\frac{|a-1|}{\sqrt{3}+1}$
Vậy $|a-1|=2\sqrt{3}+2$
Trường hợp 1: $a_{1}=2\sqrt{3}+3\Rightarrow G_{1}\left ( \frac{7+4\sqrt{3}}{3};\frac{6+2\sqrt{3}}{3} \right )$
Trừơng hợp 2: $a_{2}=-2\sqrt{3}-1\Rightarrow G_{2}\left ( \frac{-4\sqrt{3}-1}{3};\frac{-6-2\sqrt{3}}{3} \right )$
Cách 2.
Gọi $I(x_{1},y_{1})$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Vì $r=2\Rightarrow y_{1}=\pm 2.$
Phương trình $BI$: $y=\tan 30^{0}(x-1)=\frac{x-1}{\sqrt{3}}\Rightarrow x_{1}=1\pm 2\sqrt{3}$.
Trường hợp 1; Nếu $A$ và $O$ khác phía đối với $B\Rightarrow x_{1}=1+2\sqrt{3}$.
Từ $d(I;AC)=2\Rightarrow a=x_{1}+2=3+2\sqrt{3}\Rightarrow G_{1}\left ( \frac{7+4\sqrt{3}}{3};\frac{6+2\sqrt{3}}{3} \right )$
Trường hợp 2: Nếu $A$ và $O$ cùng phía đối với $B\Rightarrow x_{1}=1-2\sqrt{3}$
Tương tự ta có: $ a=x_{1}-2=-1-2\sqrt{3}\Rightarrow G_{2}\left ( \frac{-4\sqrt{3}-1}{3};\frac{-6-2\sqrt{3}}{3} \right )$

Bài 105954

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105954

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan