Bài 105837

Question

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;3).$
$1$. Viết phương trình tổng quát của các mặt phẳng $(OAB), (OBC), (OCA)$ và $(ABC)$
$2$. Xác định tọa độ tâm $I$ hình cầu nội tiếp tứ diện $OABC.$
$3$. Tìm tọa độ điểm $J$ đối xứng với I qua mặt phẳng $(ABC).$

score 0 · Answer 1

$1.$ PTTQ (phương trình tổng quát )của mp$(OAB)$ là $z = 0.$
PTTQ của mp$(OBC)$ là $x = 0$
PTTQ của mp$(OCA)$ là $y = 0$
Do mặt phẳng $(ABC$) chắn trên các trục tọa độ điểm $A(1 ;0 ;0) B(0 ;2 ;0) C(0 ;0 ;3)$ nên
PTTQ của ($ABC$) là : $x + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$
$2.$ Gọi $r$ là bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện $OABC$. Khi ấy $r$ chính là khoảng cách từ $I$ đến các
mp$(OAB) ; (OBC) ; (OAC)$ và $(ABC)$ nên $I(r ;r ;r) $và
$0 < r < d(O ;(ABC)) $$=\frac{1}{\sqrt{1^2+(\frac{1}{2} )^2+(\frac{1}{3} )^2}}=\frac{6}{7} . $
Hơn nữa,
$\begin{array}{l}
r = d(I,(ABC)) = \frac{{\left| {r\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}} \right)-1}
\right|}}{{\frac{7}{6}}} = \frac{{|11r - 6|}}{7}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
r = \frac{1}{3}\\
r = \frac{3}{2}
\end{array} \right.
\end{array}$
Do $0 < r < 6/7$ nên $r = 1/3$
Vậy $I(1/3 ; 1/3 ; 1/3)$
$3.$ Điểm $J$ nằm trên đường thẳng qua $I$ vuông góc với mp$(ABC$) có phương trình tham số:
$\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{3} + t\\
y = \frac{1}{3} + \frac{t}{2}\\
z = \frac{1}{3} + \frac{t}{3}
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,t \in R$
Giả sử $J\left( {\frac{1}{3} + {t_0};\frac{1}{3} + \frac{{{t_0}}}{2};\frac{1}{3} + \frac{{{t_0}}}{3}} \right)$.
Gọi $M$ là trung điểm $IJ$ nên $M\left( {\frac{1}{3} + \frac{{{t_0}}}{2};\frac{1}{3} + \frac{{{t_0}}}{4};\frac{1}{3} + \frac{{{t_0}}}{6}} \right)$.
Do $M$ nằm trên mặt phẳng ($ABC$) nên tọa độ $M$ thỏa mãn $(ABC)$ $ \Rightarrow {t_0} = \frac{4}{7}$
Vậy $J\left( {\frac{{19}}{21};\frac{{13}}{{21}};\frac{{11}}{{21}}} \right)$

Bài 105837

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105837

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan