|
|
1. y=x4+mx2−(m+1)x−(m+1)⇒y′=4x3+2mx−(m+1)
Với x=1 thì y′=m+3. Do đó tiếp tuyến của (Cm) tại x=1 có phương trình:
y=(m+3)(x−1)
Như vậy (Cm) sẽ tiếp xúc với y = 2(x – 1) tại x = 1 \Leftrightarrow m+3=2 \Leftrightarrow m=-1.
Khi m = -1:
y=x^4-x^2
* TXĐ: D=R
* Sự biến thiên:
\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }y=\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }x^4 \left ( 1-\frac{1}{x^2} \right )=+\infty
\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }=+\infty
y'=4x^3-2x=2x(2x^2-1)
y'=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=0 \\ x=\pm \frac{1}{\sqrt{2} } \end{gathered} \right.
BBT:
- Hàm số đồng biến trên \left ( -\frac{1}{\sqrt{2} }; 0 \right ) và \left ( \frac{1}{\sqrt{2} }; + \infty \right )
- Hàm số nghịch biến trên \left ( - \infty ;- \frac{1}{\sqrt{2} } \right ) và \left ( 0; \frac{1}{\sqrt{2} } \right )
- Hàm số đạt cực đại tại x=0, y_{CĐ}=0
- Hàm số đạt cực tiểu tại x= \pm \frac{1}{\sqrt{2} }, y_{CT}=-\frac{1}{4}
* Đồ thị:
\cap Ox: x^4-x^2=0 \Leftrightarrow x^2(x^2-1)=0
\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=0 \\ x= \pm 1 \end{gathered} \right.
Đồ thị giao với Ox tại (0;0); (-1;0); (1;0)
\cap Oy: (0;0)
Ta có: y(-x)=(-x)^4-(-x)^2
=x^4-x^2=y(x)
Hàm số đã cho là hàm số chẵn \Rightarrow đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.
Vẽ đồ thị:
2. (C_m) qua A(x,y,)\forall m\Leftrightarrow y=x^4+mx^2-(m+1)x-(m+1),\forall m
\Leftrightarrow (x^2-1)m+x^4-1-y=0,\forall m
\begin{cases}x^2-1=0 \\ x^4-1-y=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=\pm1 \\ y=0 \end{cases}
Vậy (C_m) luôn đi qua (-1;0) và (1;0)
3. Ta có: 4{x^2}(1 - {x^2}) = 1 - k \Leftrightarrow {x^4} - {x^2} = \frac{{k - 1}}{4}
Số nghiệm pt bằng số giao điểm đường thẳng y = \frac{{k - 1}}{4}\,\,\,\,(d) với đồ thị hàm số y=x^4-x^2(C)
Vậy với \frac{k-1}{4}< -\frac{1}{4}\Leftrightarrow k<0 \,\,(d) không cắt (C) \Rightarrow phương trình vô nghiệm
* -\frac{1}{4}< \frac{k-1}{4}<0 \Leftrightarrow 0<k<1\,\,(d) cắt (C) tại 4 điểm phân biệt \Rightarrow phương trình có 4 nghiệm.
* \frac{k-4}{4}=0 \Leftrightarrow k=1 \,\,\,(d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt \Rightarrow phương trình có 3 nghiệm.
* \left[ \begin{gathered} k=0 \\ \frac{k-1}{4}>0 \end{gathered} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} k=0 \\ k>1 \end{gathered} \right. \,\,(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt \Rightarrow phương trình có hai nghiệm phân biệt.
|