Bài 105793

Question

Cho hàm số:

$y = x^4 + mx^2 - (m + 1)x - (m + 1)\,\,\,\,\,\,\,\,({C_m})$

$1$ . Xác định

$m$ để (

$C_m$ ) tiếp xúc với đường thẳng

$y = 2(x-1$ ) tại điểm có hoành độ

$x = 1$ . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trong trường hợp đó.

$2$ . Chứng tỏ (

$C_m$ ) luôn luôn đi qua

$2$ điểm cố định khi

$m$ thay đổi.

$3$ . Sử dụng đồ thị của câu

$1)$ biện luận theo

$k$ số nghiệm của phương trình:

$4x^2(1 - x^2) = 1 - k$

score 0 · Answer 1

$1.$

$y = {x^4} + m{x^2} - (m + 1)x - (m + 1)\,\,\,\,\, \Rightarrow y' = 4{x^3} + 2mx - (m + 1)$
Với

$x = 1$ thì

$y’ = m+3$ . Do đó tiếp tuyến của

$(C_m$ ) tại

$x = 1$ có phương trình:

$y = (m+3)(x - 1)$
Như vậy (

$C_m$ ) sẽ tiếp xúc với

$y = 2(x – 1)$ tại

$x = 1 \Leftrightarrow m+3=2 \Leftrightarrow m=-1.$
Khi

$m = -1:$

$y=x^4-x^2$
* TXĐ:

$D=R$
* Sự biến thiên:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }y=\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }x^4 \left ( 1-\frac{1}{x^2} \right )=+\infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }=+\infty$

$y'=4x^3-2x=2x(2x^2-1)$

$y'=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=0 \\ x=\pm \frac{1}{\sqrt{2} } \end{gathered} \right.$
BBT:

- Hàm số đồng biến trên

$\left ( -\frac{1}{\sqrt{2} }; 0 \right )$ và

$\left ( \frac{1}{\sqrt{2} }; + \infty \right )$
- Hàm số nghịch biến trên

$\left ( - \infty ;- \frac{1}{\sqrt{2} } \right )$ và

$\left ( 0; \frac{1}{\sqrt{2} } \right )$
- Hàm số đạt cực đại tại

$x=0, y_{CĐ}=0$
- Hàm số đạt cực tiểu tại

$x= \pm \frac{1}{\sqrt{2} }, y_{CT}=-\frac{1}{4}$
* Đồ thị:

$\cap Ox:$

$x^4-x^2=0 \Leftrightarrow x^2(x^2-1)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=0 \\ x= \pm 1 \end{gathered} \right.$
Đồ thị giao với Ox tại

$(0;0); (-1;0); (1;0)$

$\cap Oy: (0;0)$
Ta có:

$y(-x)=(-x)^4-(-x)^2$

$=x^4-x^2=y(x)$
Hàm số đã cho là hàm số chẵn

$\Rightarrow$ đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.
Vẽ đồ thị:

$2.$

$(C_m)$ qua

$A(x,y,)\forall m\Leftrightarrow y=x^4+mx^2-(m+1)x-(m+1),\forall m$

$\Leftrightarrow (x^2-1)m+x^4-1-y=0,\forall m$

$\begin{cases}x^2-1=0 \\ x^4-1-y=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=\pm1 \\ y=0 \end{cases}$
Vậy

$(C_m)$ luôn đi qua

$(-1;0)$ và

$(1;0)$

$3.$ Ta có:

$4{x^2}(1 - {x^2}) = 1 - k \Leftrightarrow {x^4} - {x^2} = \frac{{k - 1}}{4}$
Số nghiệm pt bằng số giao điểm đường thẳng

$y = \frac{{k - 1}}{4}\,\,\,\,(d)$ với đồ thị hàm số

$y=x^4-x^2(C)$
Vậy với

$\frac{k-1}{4}< -\frac{1}{4}\Leftrightarrow k<0 \,\,(d)$ không cắt

$(C) \Rightarrow$ phương trình vô nghiệm
*

$-\frac{1}{4}< \frac{k-1}{4}<0 \Leftrightarrow 0<k<1\,\,(d)$ cắt

$(C)$ tại 4 điểm phân biệt

$\Rightarrow$ phương trình có 4 nghiệm.
*

$\frac{k-4}{4}=0 \Leftrightarrow k=1 \,\,\,(d)$ cắt

$(C)$ tại 3 điểm phân biệt

$\Rightarrow$ phương trình có 3 nghiệm.
*

$\left[ \begin{gathered} k=0 \\ \frac{k-1}{4}>0 \end{gathered} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} k=0 \\ k>1 \end{gathered} \right. \,\,(d)$ cắt

$(C)$ tại hai điểm phân biệt

$\Rightarrow$ phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bài 105793

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105793

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan