Bài 105716

Question

Cho hàm số

$y = \frac{x^2 - x + 2}{x - 1}$
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2) Xác định tập hợp tất cả các điểm

$N(x,y)$ có tọa độ thỏa mãn điều kiện

$\left| y \right| \ge \frac{{{x^2} - x + 2}}{{x - 1}}$
3) Biện luận theo

$m$ số nghiệm

$x \in \left[ {0;\pi } \right]$ của phương trình

$\cos^2x - (m + 1)\cos x + m + 2 = 0$ .

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/25/2012 3:31:28 PM

$1)$ Viết lại hàm số đã cho dưới dạng

$y = x + \frac{2}{{x - 1}}$
Hàm số xác định với mọi

$x \ne 1$ . Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng

$x = 1$ , tiệm cận xiên

$y = x$ . Ta có

$y' = 1 - \frac{2}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{{{(x - 1)}^2} - 2}}{{{{(x - 1)}^2}}}$
Bạn đọc vẽ bảng biến thiên và đồ thị hàm số

$2)$ Theo phần

$1)$ với

$x < 1$ , ta có

$\max y = 1 - 2\sqrt 2 < 0 \Rightarrow \left| y \right| \ge y = \frac{{{x^2} - x + 3}}{{x - 1}}$

$\Rightarrow$ tập các điểm

$N(x,y)$ trong trường hợp này là phần mặt phẳng tạo độ với

$x < 1$ . Với

$x > 1$ ta có

$\min y = 1 + 2\sqrt 2 > 0 \Rightarrow \left| y \right| \ge y{\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y \ge \frac{{{x^2} - x + 2}}{{x - 1}}\\ y \le - \frac{{{x^2} - x + 2}}{{x - 1}} \end{array} \right.$
Do đó tập các điểm

$N(x,y)$ trong trường hợp này là 2 phần lõm của hypebol

$y$ đối xứng nhau qua trục

$Ox$ . Vậy toàn bộ tập các điểm

$N(x,y)$ trên mặt phẳng tọa độ
3) Phương trình đã cho tương đương với

$c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - \cos x + 2 = m(\cos x - 1)$

$(1)$
Do

$\cos x = 1$ không thỏa mãn (1) nên
(1)

$\Leftrightarrow \frac{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - \cos x + 2}}{{\cos x - 1}} = m$

$(2)$
Đặt

$t = \cos x,{\rm{ }} - 1 \le t < 1$ , khi đó (2) trở thành

$y(t) = \frac{{{t^2} - t + 2}}{{t - 1}} = m {\rm{ (}} - 1 \le t < 1)$ .
Ta có

$y( - 1) = - 2$ và

$y = m$ là đường thẳng song song với

$Ox$ .
Đồ thị

$y(t)$ đã vẽ ở phần

$1)$ , từ đó ta có

$m > 1 - 2\sqrt 2$ : (1) vô nghiệm

$m = 1 - 2\sqrt 2$ : (1) có

$1$ nghiệm

$1 - 2\sqrt 2 \ge m \ge - 2$ :

$(1)$ có

$2$ nghiệm;

$m < - 2$ :

$(1)$ có

$1$ nghiệm

Bài 105716

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105716

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan