1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
a, Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và miền nghiệm của nó
ĐỊNH NGHĨA
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là bất phương trình có một trong các dạng.
$ax + by + c < 0,ax + by + c > 0,ax + by + c \leqslant 0,ax + by + c \geqslant 0$, trong đó $a$, $b$ và $c$ là những số cho trước ${a^2} + {b^2} \ne 0$; $x$ và $y$ là các ẩn.
Mỗi cặp số $({x_0},{y_0})$ sao cho $ax_{0} + by{ _0} + c < 0$ gọi là một nghiệm của bất phương trình $ax + by + c < 0$
Nghiệm của các bất phương trình dạng $ax + by + c > 0,ax + by + c \leqslant 0,ax + by + c \geqslant 0$ được định nghĩa tương tự.
b, Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
ĐỊNH LÝ
Trong mặt phẳng tọa độ, đường thẳng $(d):ax + by + c = 0$ chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ $(d)$) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình $ax + by + c > 0$, nửa mặt phẳng còn lại ( không kể bờ $(d)$) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình $ax + by + c < 0$
Từ định lý, ta suy ra
Nếu $({x_0},{y_0})$ là một nghiệm của bất phương trình $ax + by + c > 0$ (hay $ax + by + c < 0$) thì nửa mặt phẳng (không kể bờ $(d)$) chứa điểm $M({x_0},{y_0})$ chính là miền nghiệm của bất phương trình ấy.
Vậy để xác định miền nghiệm của bất phương trình $ax + by + c < 0$, ta làm như sau:
- Vẽ đường thẳng (d): $ax + by + c = 0$
- Xét một điểm $M({x_0},{y_0})$ không nằm trên $(d)$
Nếu $ax_{0} + by{ _0} + c < 0$ thì nửa mặt phẳng (không kể bờ $(d)$) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình $ax + by + c < 0$
Nếu $ax_{0} + by{ _0} + c > 0$ thì nửa mặt phẳng (không kể bờ $(d)$) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình $ax + by + c > 0$.
CHÚ Ý
Đối với các bất phương trình dạng $ax + by + c \leqslant 0$ hoặc $ax + by + c \geqslant 0$ thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ.
2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Ví dụ về hệ BPT bậc nhất hai ẩn:
$$\left( I \right)\left\{ \begin{gathered}
3x - y + 3 > 0 \\
- 2x + 3y - 6 < 0 \\
2x + y + 4 > 0 \\
\end{gathered} \right.$$
Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ
Để xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như sau:
- Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại.
- Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
|