Bài 105716

Question

Cho hàm số: $y = - (m^2 + 5m)x^3 + 6mx^2 + 6x - 6$
Gọi ($Cm$) là đồ thị của nó.
$1$. Xác định $m$ để hàm số đơn điệu trên $R$. Khi đó hàm số đồng biến hay nghịch biến? Tại sao?
$2$. Tìm tất cả các điểm cố định trong mặt phẳng tọa độ mà ($Cm$) đi qua với mọi giá trị $m$. Tiếp tuyến của ($Cm$) tại mỗi điểm cố định đó có cố định hay không khi m thay đổi? Tại sao?
$3$. Với giá trị nào của $m$ thì hàm số đạt cực đại tại $x = 1$. Trong trường hợp đó, hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

score 0 · Answer 1

$1.$
Hàm số đơn điệu trên $R$ khi và chỉ khi $y’$ không đổi dấu.
+ Nếu ${m^{\rm{2}}} + {\rm{5m}} = 0\Leftrightarrow m=0$ hoặc $m =-5$ thì
$ y’=6$ với mọi $x$ (nếu $m = 0$) hoặc $y’ = -60x + 6$ (nếu $m = -5$).
Hàm số đơn điệu trên $R \Leftrightarrow m = 0.$
+ Nếu ${{\rm{m}}^{2}} + {\rm{5m}} \ne 0$thì y’ không đổi dấu
$ \Leftrightarrow \Delta ' = 36{m^2} + 18({m^2} + 5m)≤ 0
\Leftrightarrow -5/3 ≤ m < 0$ nên $y’ > 0$ với mọi $x$
$\Leftrightarrow $ hàm số đồng biến với mọi $x.$
$2.$ $\begin{array}{l}
y = - (m^2 + 5m)x^3 + 6mx^2 + 6x - 6\\
{x^3}.m^2 = (5{x^3} - 6{x^2})m + y - 6x + 6 = 0
\end{array}$
Hệ $\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} = 0\\
5{x^3} - 6{x^2} = 0\\
y - 6x + 6 = 0
\end{array} \right.$
có nghiệm duy nhất $x = 0, y = 6$ nên với mọi $m$ thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định $A(0;6)$
Vì $y’(0) = 6$ với mọi nên tiếp tuyến của ($Cm$) tại điểm cố định $A(0;6$) cố định khi $m$ thay đổi.
$3$. Nếu hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ thì $y’(1) = 0 \Leftrightarrow - 3{m^2} - 3m + 6 = 0$
$
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\\
m = - 2
\end{array} \right.$
Ta có: $y'' = - 6({m^2} + 5m)x + 12m \Rightarrow y''(1) = - 6{m^2} - 18m$
Khi $m = 1, y’’(1) = -24 < 0$ nên hàm số đạt cực đại tại $x = 1$
Khi $m = -2, y’’(1) = 12 > 0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1.$
Vậy hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ khi $m = 1$.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: xin dành cho bạn đọc .

Bài 105716

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105716

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan