Bài 105703

Question

Cho hàm số

$y = \frac{{3{x^2} + 2x + 1}}{{2x}}$
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2) Cho nửa đường tròn tâm

$O$ , đường kính

$AB = 2R$ . Gọi

$M$ là một điểm nằm trên nửa đường tròn đã cho và

$M’$ là hình chiếu của

$M$ trên

$AB$ . Đặt

$\widehat {BOM} = a$ , hãy tìm giá trị của

$tan\frac{a}{2}$ để

$OM + MM’ + M’B = mMM’$ , trong đó

$m$ là số cho trước (có thể đặt

$tan\frac{a}{2} = x$ ).
3) Chứng tỏ rằng có thể tìm được kết quả trong phần 2 nhờ đồ thị hàm số

$y = \frac{{3{x^2} + 2x + 1}}{{2x}}$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/25/2012 2:49:02 PM

$1)$ Viết lại hàm số dưới dạng:

$y = \frac{3}{2}x + 1 + \frac{1}{{2x}}$
Hàm số xác định với mọi

$x \ne 0$ .
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng

$x = 0$ , tiệm cận xiên

$y = \frac{3}{2}x + 1$ .
Ta có:

$y' = \frac{3}{2} - \frac{1}{{2{x^2}}} = \frac{{3{x^2} - 1}}{{2{x^2}}}$
Bạn đọc vẽ bảng biến thiên và đồ thị hàm số

$2)$ Ta có

$OM = R, MM’ = Rsina, MB’ = MB – OM’ = R – Rcosa = R(1 – cosa)$ .
Thế vào

$OM + MM’ + M’B = mMM’$ ta được:

$R + Rsina + R(1 – cosa) = mRsina$

$\Leftrightarrow (1 – m)sina – cosa + 2 = 0$

$(1)$
Đặt

$x = tan\frac{a}{2}$ ta có

$\sin a = \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}},\cos a = \frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}$
Khi đó

$(1)$ trở thành

$\left( {1 - m} \right)\frac{{2x}}{{1 + {x^2}}} - \frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}} + 2 = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 2\left( {1 - m} \right)x + 1 = 0$

$(2)$

$(2)$ có nghiệm

$\Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {1 - m} \right)^2} - 3 \ge 0$

$\Leftrightarrow m \le 1 - \sqrt 3$ hoặc

$m \ge 1 + \sqrt 3$ , và ta có

$tan\frac{a}{2} = x = \frac{{m - 1 \pm \sqrt {{{\left( {1 - m} \right)}^2} - 3} }}{3}$

$3)$ Viết lại

$(2)$ dưới dạng

$3{x^2} + 2x + 1 = 2mx$

$(3)$

$x = 0$ không phải là nghiệm của

$(3)$ nên

$m = \frac{{3{x^2} + 2x + 1}}{{2x}}$

$(4)$
Vế phải của

$(4)$ là đồ thị của hàm số đã vẽ ở phần

$1)$ , còn vế trái là đường thẳng

$y = m$ .
Vậy để

$(4)$ có nghiệm, căn cứ vào đồ thị ta có

$m \le 1 - \sqrt 3$ hoặc

$m \ge 1 + \sqrt 3$

Bài 105703

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105703

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan