Bài 105564

Question

Cho hàm số:

$y = \frac{{2{x^2} + (a + 1)x - 3}}{{x + a}}\,\,\,(1)$

$1$ . Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (

$1$ ) với

$a = 2$

$2$ . Xác định

$a$ để đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

$(1)$ tiếp xúc với parabol

$y = x^2 + 5.$

$3$ . Tìm quỹ tích giao điểm của hai đường tiệm cận đứng và xiên của đồ thị hàm số (

$1$ ) khi

$a$ thay đổi.

score 0 · Answer 1

$1.$

$a=2$ hàm số có dạng:

$y= \frac{2x^2+3x-3}{x+2}=2x+2-\frac{1}{x+2}$
* TXĐ:

$D=R \setminus \left\{ {-2} \right\}$
* Sự biến thiên:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }y= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }\frac{2x+3-\frac{3}{x} }{1+\frac{2}{x} }= + \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty }y=- \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to -2^-}y = \mathop {\lim }\limits_{x \to -2^-}\frac{2x^2+3x-3}{x+2}= + \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to -2^+}y = - \infty$

$\Rightarrow$ đồ thị hàm số nhận đường thẳng

$x=-2$ làm tiệm cận đứng.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }\left[ {y- \left\{ {2x-1} \right\} } \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }\frac{-1}{x+2}=0$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }\left[ {y-(2x-1)} \right] =0$

$\Rightarrow$ đồ thị hàm số nhận đường thẳng

$y=2x-1$ làm tiệm cận xiên.

$y'=2+\frac{1}{(x+2)^2} >0 \,\,\,\forall x \neq -2$
BBT:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng

$(-\infty ; -2 )$ và

$(-2; + \infty )$
* Đồ thị:

$\cap Ox$ :

$2x^2+3x-3=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=\frac{-3-\sqrt{33} }{4} \\ x=\frac{-3+\sqrt{33} }{4} \end{gathered} \right.$
Đồ thị hàm số giao với Ox tại

$(\frac{-3-\sqrt{33} }{4};0); (\frac{-3+\sqrt{33} }{4};0 )$

$\cap Oy$ tại

$(0;-\frac{3}{2} )$
Đồ thị hàm số nhận

$I(-2;-5)$ làm tâm đối xứng.

$2.$

$y=\frac{2x^2+(a+1)x-3}{x+a} =2x+1-a+\frac{a^2-a-3}{x+a}$
Tiệm cận xiên là

$y=2x+1-a.$

$\Leftrightarrow a^2-a-3 \neq 0$

$\Leftrightarrow \begin{cases}a \neq \frac{1+\sqrt{13} }{2} \\ a \neq \frac{1-\sqrt{13} }{2} \end{cases} (*)$
Tiệm cận xiên sẽ tiếp xúc với

$y=x^2+5$ khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm

$\begin{cases}x^2+5=2x+1-a (1) \\ 2x=2 (2) \end{cases}$

$\Leftrightarrow x=1$ (nghiệm của

$(2))$ thỏa mãn

$(1)$

$\Leftrightarrow a=-3$ (TM điều kiện

$(*)$ )

$3.$ Gọi

$E(x_1,y_1)$ là giao điểm

$2$ tiệm cận thì

$\begin{cases}x_1=-a \\ y_1=2x_1+1-a \end{cases} \Leftrightarrow y_1=3x_1+1$
Vậy quỹ tích phải tìm là tập các điểm nằm trên đường thẳng

$y=3x+1$

Bài 105564

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105564

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan