Bài 105564

Question

Cho hàm số: $y = \frac{{2{x^2} + (a + 1)x - 3}}{{x + a}}\,\,\,(1)$
$1$. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ($1$) với $a = 2$
$2$. Xác định $a$ để đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $(1)$ tiếp xúc với parabol $y = x^2 + 5.$
$3$. Tìm quỹ tích giao điểm của hai đường tiệm cận đứng và xiên của đồ thị hàm số ($1$) khi $a$ thay đổi.

score 0 · Answer 1

$1.$ $a=2$ hàm số có dạng:
$y= \frac{2x^2+3x-3}{x+2}=2x+2-\frac{1}{x+2} $
* TXĐ: $D=R \setminus \left\{ {-2} \right\} $
* Sự biến thiên:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }y= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }\frac{2x+3-\frac{3}{x} }{1+\frac{2}{x} }= + \infty    $
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty }y=- \infty $
$\mathop {\lim }\limits_{x \to -2^-}y = \mathop {\lim }\limits_{x \to -2^-}\frac{2x^2+3x-3}{x+2}= + \infty   $
$\mathop {\lim }\limits_{x \to -2^+}y = - \infty $
$\Rightarrow $ đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=-2$ làm tiệm cận đứng.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }\left[ {y- \left\{ {2x-1} \right\} } \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }\frac{-1}{x+2}=0   $
$\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }\left[ {y-(2x-1)} \right] =0 $
$\Rightarrow $ đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y=2x-1$ làm tiệm cận xiên.
$y'=2+\frac{1}{(x+2)^2} >0 \,\,\,\forall x \neq -2 $
BBT:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ; -2 )$ và $(-2; + \infty )$
* Đồ thị:
$ \cap Ox$: $2x^2+3x-3=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=\frac{-3-\sqrt{33} }{4} \\ x=\frac{-3+\sqrt{33} }{4} \end{gathered} \right. $
Đồ thị hàm số giao với Ox tại $ (\frac{-3-\sqrt{33} }{4};0); (\frac{-3+\sqrt{33} }{4};0 )$
$\cap Oy$ tại $(0;-\frac{3}{2} )$
Đồ thị hàm số nhận $I(-2;-5)$ làm tâm đối xứng.

$2.$ $y=\frac{2x^2+(a+1)x-3}{x+a} =2x+1-a+\frac{a^2-a-3}{x+a} $
Tiệm cận xiên là $y=2x+1-a.$ $\Leftrightarrow a^2-a-3 \neq 0$
$\Leftrightarrow \begin{cases}a \neq \frac{1+\sqrt{13} }{2} \\ a \neq \frac{1-\sqrt{13} }{2} \end{cases} (*) $
Tiệm cận xiên sẽ tiếp xúc với $y=x^2+5$ khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm
$\begin{cases}x^2+5=2x+1-a (1) \\ 2x=2 (2) \end{cases} $
$\Leftrightarrow x=1$ (nghiệm của $(2))$ thỏa mãn $(1)$
$\Leftrightarrow a=-3$ (TM điều kiện $(*)$)
$3.$ Gọi $E(x_1,y_1)$ là giao điểm $2$ tiệm cận thì
$\begin{cases}x_1=-a \\ y_1=2x_1+1-a \end{cases} \Leftrightarrow y_1=3x_1+1$
Vậy quỹ tích phải tìm là tập các điểm nằm trên đường thẳng $y=3x+1$

Bài 105564

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105564

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan