Bài 105516

Question

Cho hàm số $y = \frac{{2{x^2} + (m - 2)x}}{{x - 1}}$
Trong đó $m$ là tham số
1) Với những giá trị nào của $m$ thì hàm số có cực đại và cực tiểu? Khi đó hãy tìm quỹ tích của điểm cực đại và quỹ tích của điểm cực tiểu của đồ thị.
2) Trên mặt phẳng tọa độ, hãy tìm tất cả các điểm mà đồ thị hàm số không thể đi qua dù $m$ lấy bất kỳ giá trị nào

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/24/2012 2:13:28 PM

Ta có        $y = 2x + m + \frac{m}{{x - 1}}$

$1)$ $y' = 2 - \frac{m}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{2{{(x - 1)}^2} - m}}{{{{(x - 1)}^2}}}$
Từ đó để hàm số có cực đại, cực tiểu thì tam thức bậc hai: $f(x) = 2{(x - 1)^2} - m$
Có hai nghiệm phân biệt khác $1 \Leftrightarrow m > 0$
Khi đó $y' = 0 \Leftrightarrow x = 1 - \frac{{\sqrt m }}{{\sqrt 2 }},{\rm{ x}} = 1 + \frac{{\sqrt m }}{{\sqrt 2 }}$; và ta có bảng biến thiên của $y$
Gọi $({x_o},{y_o})$ là tọa độ điểm cực đại, ta có:
${x_o} = 1 - \frac{{\sqrt m }}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \sqrt m = \sqrt 2 (1 - {x_o}) \Rightarrow m = 2{(1 - {x_o})^2}$;
${y_o} = 2{x_o} + m + \frac{m}{{{x_o} - 1}} = 2{x_o} + 2{(1 - {x_o})^2} + \frac{{2{{(1 - {x_o})}^2}}}{{{x_o} - 1}}$.
Do $m > 0$ nên ${x_o} < 1$; từ đó ${y_o} = 2x_o^2$.
Vậy quỹ tích của điểm cực đại là parabol $y = 2x_{}^2$, $x < 1$.
Tương tự quỹ tích của điểm cực tiểu là $y = 2x_{}^2$, $x > 1$.

$2)$Ta viết lại hàm số dưới dạng:
        $y = 2x + \left( {1 + \frac{1}{{x - 1}}} \right)m$
a) Tại các điểm có hoành độ $x = 1$, $y$ không xác định. Vậy đường thẳng $x = 1$ là một trong những đường cần tìm.
b) Khi     $1 + \frac{1}{{x - 1}} = 0 \Leftrightarrow x = 0$
thì $2x + \left( {1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right)m = 0,{\rm{ }}\forall {\rm{m}}$ và $y = 0 \Leftrightarrow x = 0,{\rm{ }}\forall {\rm{m}}$.
Vậy tại các điểm có hoành độ $x = 0$ (trừ điểm $(0, 0)$ ) đồ thị hàm số không đi qua với mọi $m$.

Đáp số: Các đường thẳng $x = 0,{\rm{ x}} = 1$ (trừ $(0, 0 )$)

Bài 105516

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105516

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan