Bài 105296

Question

Cho :
$\begin{array}{l}
g(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + ax + 1\\
h(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 + 3{ax} + a
\end{array}$
Tìm $a$ để mỗi hàm có $2$ cực trị, sao cho giữa $2$ hoành độ cực trị của hàm này có $1$ hoành độ cực trị của hàm kia.

score 0 · Answer 1

$g^/(x)=x^2-x+a, h^/(x)=x^2+2x+3a$
$g(x)$ có cực trị $\Leftrightarrow g^/(x)$ có $2$ nghiệm phân biệt $x_1,x_2 \Leftrightarrow \Delta =1-4a>0$
$\Leftrightarrow a<\frac{1}{4} $. Trong các giá trị này của $a$, cần tìm các $a$ làm cho $h^/(x)$ có $2$
nghiệm $x_3<x_4$ sao cho : $\left[ \begin{array}{l}x_3<x_1<x_4<x_2\\x_1<x_3<x_2<x_4\end{array} \right. $
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x_1 trong khoang 2 nghiem h^/(x),x_2 ngoai khoang nghiem h^/(x)\\x_2 trong khoang 2 nghiem h^/(x),x_1 ngoai khoang nghiem h^/(x)\end{array} \right. $
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h^/(x_1)<0,h^/(x_2)>0\\h^/(x_2)<0,h^/(x_1)>0\end{array} \right. \Leftrightarrow h^/(x_1).h^/(x_2)<0$
$\Leftrightarrow (x_1^2+2x_1+3a)(x_2^2+2x_2+3a)$
$\Leftrightarrow (x_1^2-x_1+a+3x_1+2a)(x_2^2-x_2+a+3x_2+2a)<0$
$\Leftrightarrow (3x_1+2a)(3x_2+2a)<0\Leftrightarrow 9x_1.x_2+6a(x_1+x_2)+4a^2<0$
$\Leftrightarrow 9a+6a.1+4a^2<0\Leftrightarrow 4a^2+15a<0\Leftrightarrow -\frac{15}{4}<a<0 $ (thỏa mãn $a<1/4$)
ĐS : $-\frac{15}{4}<a<0 $

Bài 105296

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105296

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan