Bài 104649

Question

Cho hàm số:
$y = \frac{1}{3}{x^3} - mx^2 - x + m + \frac{2}{3}\,\,\,\,(C)$
$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với $m = 0.$
$2$. Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số ($C$).
$3$. Với giá trị nào của $m$ thì đồ thị của hàm số ($C$) cắt trục hoành tại $3$ điểm phân biệt có hoành độ ${x_1};{x_2};{x_3}$ thỏa mãn điều kiện $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 > 15$

score 0 · Answer 1

$1.$ Xin dành cho bạn đọc.
$2$. Phương trình của ($C$) có thể viết lại :
$m(1 - {x^2}) + \frac{1}{3}{x^3} - x + \frac{2}{3} - y = 0$
Do đó : $A(x,y$) sẽ luôn thuộc ($C$) khi và chỉ khi :
$\left\{ \begin{array}{l}
1 - {x^2} = 0\\
\frac{1}{3}{x^3} - x + \frac{2}{3} - y = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = - 1\\
y = \frac{4}{3}
\end{array} \right.
\end{array} \right.$
$3$. Cần tìm $m$ để phương trình :
$\frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} - x + m + \frac{2}{3} = 0(1)$
có $3$ nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2};{x_3}$ thỏa mãn: $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 > 15$
Ta có:
$\begin{array}{l}
{x^3} - 3m{x^2} - 3x + 3m + 2 = 0\\
\Rightarrow (x - 1)\left[ {{x^2} + (1 - 3m)x - 3m - 2} \right] = 0
\end{array}$
Bài toán trở thành tìm $m$ để $\varphi (x) = {x^2} + (1 - 3m)x - 3m - 2$ có $2$ nghiệm phân biệt
x1 ;x2 $ \ne 1$ sao cho :
$x_1^2 + x_2^2 + 1 > 15$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta = {(3m - 1)^2} + 4(3m + 2) > 0\\
\varphi (1) = - 6m \ne 0\\
{({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} > 14
\end{array} \right. \Leftrightarrow |m| > 1$

Bài 104649

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104649

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan