|
|
$1$. Dành cho bạn đọc tự giải.
$2$. Điểm cực đại $O(0;0)$; điểm cực tiểu $M(2;4).$
Xét Parabol $y = a{x^2} + bx + c\,\,(P)$
$(P$) qua $O(0;0) \Leftrightarrow c = 0$
($P$) qua $M(2;4) \Leftrightarrow 4 = 4a + 2b \Leftrightarrow b = 2 - 2a$
Phương trình ($P$) trở thành: $y = a{x^2} + (2 - 2a)x$
($P$) tiếp xúc đường thẳng $y = - \frac{1}{2}$khi và chỉ khi hệ pt sau có nghiệm:
$\left\{ \begin{array}{l}
a{x^2} + (2 - 2a)x = - \frac{1}{2}\,\,\,(1)\\
2ax + 2 - 2a = 0\,\,\,\,(2)
\end{array} \right.$
Vì $(2) \Leftrightarrow x = \frac{{a - 1}}{a}$ nên hệ trên có nghiệm khi:
$a{(\frac{{a - 1}}{a})^2} + 2(1 - a)\left( {\frac{{a - 1}}{a}} \right) = - \frac{1}{2}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 2\\
a = \frac{1}{2}
\end{array} \right.$
Vậy ta có $2$ Parabol cần tìm:
$\begin{array}{l}
y = 2{x^2} - 2x\\
y = \frac{1}{2}{x^2} + x
\end{array}$
$3.$ Xét hai điểm $A(1 - {t_1},f(1 - {t_1}))\,\,;\,\,B(1 + {t_2};f(1 + {t_2}))$với ${t_1};{t_2} >
0$ thì $A, B$ thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị $y = f(x) = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}} = x + 1 + \frac{1}{{x - 1}}$.
Khoảng cách $AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}}
\right)}^2}} $
Với :
$\begin{array}{l}
{x_2} = 1 + {t_2}\\
{x_1} = 1 - {t_1}\\
\Rightarrow {x_2} - {x_1} = {t_2} + {t_1}\\
{y_2} = f({x_2}) = 1 + {t_2} + 1 + \frac{1}{{1 + {t_2} - 1}} = 2 + {t_2} + \frac{1}{{{t_2}}}\\
{y_1} = f({x_1}) = 2 - {t_1} - \frac{1}{{{t_1}}}\\
\Rightarrow {y_2} - {y_1} = {t_2} + {t_1} + \frac{1}{{{t_2}}} + \frac{1}{{{t_1}}} = \left(
{{t_2} + {t_1}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{{t_1}{t_2}}}} \right)
\end{array}$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow A{B^2} = {({t_2} + {t_1})^2} + {({t_2} + {t_1})^2}{\left( {1 +
\frac{1}{{{t_1}{t_2}}}} \right)^2}\\
= {({t_2} + {t_1})^2}\left[ {1 + 1 + \frac{2}{{{t_1}{t_2}}} + \frac{1}{{{t_1}^2{t_2}^2}}}
\right]\\
AB2 = {({t_2} + {t_1})^2}\left[ {2 + \frac{2}{{{t_1}{t_2}}} + \frac{1}{{{t_1}^2{t_2}^2}}}
\right] \ge 4{t_1}{t_2}\left[ {2 + \frac{2}{{{t_1}{t_2}}} + \frac{1}{{{t_1}^2{t_2}^2}}}
\right]\\
= 4\left( {2{t_1}{t_2} + \frac{1}{{{t_1}{t_2}}} + 2} \right) \ge 4\left( {2\sqrt 2 + 2} \right)
= 8\left( {\sqrt 2 + 1} \right)
\end{array}$
$AB \ge 2\sqrt {2\left( {\sqrt 2 + 1} \right)} $
$AB$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{t_1} = {t_2} > 0\\
2{t_1}{t_2} = \frac{1}{{{t_1}{t_2}}}
\end{array} \right.\Leftrightarrow $${t_1} = {t_2} = \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}$
Vậy hai điểm cần tìm trên đồ thị là hai điểm có hoành độ :$ x = 1 \pm \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}$
|