Bài 104281

Question

Cho hàm số :
$y = \frac{{(m + 1){x^2} - {m^2}}}{{x - m}}$
$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với $m = 1.$
$2.$ Trong trường hợp tổng quát, chứng minh rằng với mọi giá trị $m \ne 0$, tiệm cận xiên của
đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một Parabol cố định. Hãy chỉ rõ phương trình của Paralbol ấy.

score 0 · Answer 1

$1$. Dành cho bạn đọc tự giải.
$2$. $y = \frac{{(m + 1){x^2} - {m^2}}}{{x - m}} = (m + 1)x + m(m + 1) + \frac{{{m^3}}}{{x - m}}$
$ \Rightarrow y = (m + 1)x + m(m + 1)$ là tiệm cận xiên với mọi $m \ne 0$
Xét parabol (P): $y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c\,\,(a \ne 0)$
Tiệm cận xiên tiếp xúc với ($P$) khi và chỉ khi hệ pt sau có nghiệm:
$\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + bx + c = (m + 1)x + m(m + 1)}}\,\,\,\,\,{\rm{(1)}}\\
{\rm{2ax + b = m + 1}}\,\,\,{\rm{(2)}}
\end{array} \right.$
$(1) \Leftrightarrow a{x^{2 - }}(m + 1 - b)x + c - {m^2} - m = 0$
($2$) có nghiệm duy nhất $x = \frac{{m + 1 - b}}{{2a}}$ do đó hệ pt trên có nghiệm khi và chỉ khi:
$x = \frac{{m + 1 - b}}{{2a}}$ thỏa mãn ($1$) tức là:
$a{\left( {\frac{{m + 1 - b}}{{2a}}} \right)^2} - \frac{{{{\left( {m + 1 - b}
\right)}^2}}}{{2a}} + c - {m^2} = 0$
$ \Leftrightarrow (4a + 1){m^2} + {\rm{[}} - 2(b - 1) + 4a]m + {(b - 1)^2} - 4ac = 0\,(3)$
Tiệm cận xiên sẽ luôn tiếp xúc với Parabol
${\rm{y = a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c$
$ \Leftrightarrow (3)$đúng $\forall m \ne 0$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4a + 1 = 0\\
- 2(b - 1) + 4a = 0\\
{(b - 1)^2} - 4ac = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - \frac{1}{4}\\
b = \frac{1}{2}\\
c = - \frac{1}{4}
\end{array} \right.$
Vậy $\forall m \ne 0$, tiệm cận xiên luôn tiếp xúc với Parabol:
$y = - \frac{1}{4}{x^2} +
\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}$

Bài 104281

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104281

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan