|
|
$1$. Từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2,\,0,\, - 3} \right);\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {0,\,4,\, - 3} \right);\,\,\overrightarrow {AD} \left( { - 2,\,4,\,0} \right);\,\,\overrightarrow {BC} \left( {2,\,4,\,0} \right);\,\,\overrightarrow {BD} \left( {0,\,4,\,3} \right);\,\,\overrightarrow {CD} \left( { - 2,\,0,\,3} \right)\)
Do đó \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {12,\, - 6,\, - 8} \right)\,;\,\,\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = - 24- 24 \ne 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) không đồng phẳng\( \Rightarrow ABCD\) là hình tứ diện.
Ngoài ra \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {4 + 9} = \left| {\overrightarrow {CD} } \right|\,;\,\,\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {16 + 9} = \left| {\overrightarrow {BD} } \right|\,;\,\,\left| {\overrightarrow {AD} } \right| = \sqrt {4 + 16} = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\) nên tứ diện $ABCD$ có các cặp cạnh đối bằng nhau.
$2$. Có \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {0,\,12,\,0} \right) = 12.\left( {0,\,1,\,0} \right)\). Do đó mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua $AB$ và song song với $CD$ có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow v = \left( {0,\,1,\,0} \right)\) và có phương trình \(1\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow y - 2 = 0\)
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng khoảng cách từ $C$ đến \(\left( \alpha \right)\), do đó bằng \(\frac{{\left| {6 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 4\)
$3$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Ta có \(M\left( {0,\,2,\,\frac{1}{2}} \right);\,N\left( {0,\,6,\,\frac{1}{2}} \right)\)
Do đó \(\overrightarrow {MN} = \left( {0,\,4,\,0} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AB} = \left( {0,\,4,\,0} \right).\left( { - 2,\,0,\, - 3} \right) = 0\,;\,\,\,\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {CD} = \left( {0,\,4,\,0} \right).\left( { - 2,\,0,\,3} \right) = 0\)
Suy ra $MN$ là đường vuông góc chung của $AB$ và $CD$. Gọi $E$ là trung điểm của $MN$ thì \(EA = EB = ED\)
Suy ra $E$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$. Do đó mặt cầu có tâm \(E\left( {0,\,4,\,\frac{1}{2}} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {1 + 4 + \frac{9}{4}} = \frac{{\sqrt {29} }}{2}\)
Phương trình mặt cầu ngoại tiếp \({x^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{29}}{4}\)
|
|
|
Đăng bài 27-04-12 03:14 PM
|
|