Bài 101444

Question

Trong không gian với hệ trục tọa độ Đềcac vuông góc $Oxyz$ cho điểm $I(1, 2, -2)$ và mặt phẳng $(P)$ $2x + 2y + z + 5 = 0$
$1$. Lập phương trình mặt cầu $S$ tâm $I$ sao cho giao điểm của $S$ và $(P)$ là đường tròn có chu vi bằng $8\pi $
$2$. Chứng minh rằng mặt cầu $S$ nói trong phần $1$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta :2x - 2 = y + 3 = z$
$3$. Lập phương trình mặt cầu chứa đường thẳng $A$ nếu trong phần $2$ và tiếp xúc với mặt cầu $S$ tìm được ở phần $1$.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/26/2012 2:32:34 PM

$1$. $I\left( {1,2, - 2} \right)$ cách $\left( P \right):2x + 2y + z + 5 = 0$ một khoảng cách là ${h_1} = \frac{{|2 + 4 - 2 + 5|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = 3$
Đường tròn chu vi $8\pi $ có bán kính $r = 4$. Gọi $R$ là tâm mặt cầu cần tìm, ta có phương trình
${R^2} = h_1^2 + {r^2} = {3^2} + {4^2} = {5^2} \Leftrightarrow R = 5$
Mặt cầu S có tâm $I\left( {1,2, - 2} \right)$, bán kính $R = 5$, suy ra (S) có phương trình
${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 25$

$2$. Theo giả thiết ,$\left( \Delta \right)$ có phương trình
$2x - 2 = y + 3 = z \Leftrightarrow x = t;y = - 5 + 2t;z = - 2 + 2t$
Thế vào phương trình mặt cầu ta được $t = \frac{5}{3}$
Vì vậy $\left( \Delta \right)$ và mặt cầu $(S)$ có $1$ điểm chung duy nhất ở tọa độ $A$ $\left( {x = \frac{5}{3},y = - \frac{5}{3},z = \frac{4}{3}} \right)$
Nghĩa là $(S)$ tiếp xúc với $\left( \Delta \right)$

$3$. Mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng vuông góc với $IA$ tại $A$, cũng là mặt phẳng qua A$\left( {\frac{5}{3}, - \frac{5}{3},\frac{4}{3}} \right)$
Và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {IA} \left( {\frac{2}{3},\frac{{ - 11}}{3},\frac{{10}}{3}} \right)$ hay vecto $\overrightarrow v \left( {2, - 11,10} \right)$. Vậy mặt phẳng cần tìm có phương trình$2x - 11y + 10z - 35 = 0$

Bài 101444

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101444

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan