Bài 101262

Question

Cho $(P): 5x - 4y + z - 6 = 0$ và $(Q): 2x - y + z + 7 = 0$ và đường thẳng
$(d):\left\{ {\begin{array}{i}
x - y + 2z - 3 = 0\\
- x + 3y + z = 0
\end{array}} \right.$.
Viết phương trình mặt cầu $(S ),$ biết rằng tâm $I$ của mặt cầu là giao điểm của $(d)$ với $(P)$, ngoài ra mặt phẳng $(Q)$ cắt hình cầu $(S )$ theo thiết diện là hình tròn với diện tích $20\pi $

score 0 · Answer 1

Trước hết tìm giao điểm I của mặt cầu.
Vì nó là giao điểm của (d) với (P), nên ta có hệ phương trình sau để xác định tọa độ của I $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x - y + 2z - 3 = 0}\\
{ - x + 3y + z = 0}\\
{5{\rm{x}} - {\rm{4}}y + z - 6 = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1}\\
{y = 0}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.$.
Vậy I(1,0,1) là tâm của mặt cầu (S )
Khoảng cách h từ I tới (Q) là $h = \frac{{\left| {2 + 1 + 7} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 1} }} = \frac{{10}}{{\sqrt 6 }}$
Gọi r là bán kính hình tròn thiết diện, ta có $\pi .{r^2} = 20\pi \Rightarrow {r^2} = 20$.
Khi đó nếu gọi R là bán kính của (S ), thì ${R^2} = {r^2} + {h^2} = 20 + \frac{{100}}{6} = \frac{{110}}{3}$
Vậy mặt cầu (S ) có phương trình ${(x - 1)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = \frac{{110}}{3}$

Bài 101262

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101262

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan