Bài 101262

Question

Cho

$(P): 5x - 4y + z - 6 = 0$ và

$(Q): 2x - y + z + 7 = 0$ và đường thẳng

$(d):\left\{ {\begin{array}{i} x - y + 2z - 3 = 0\\ - x + 3y + z = 0 \end{array}} \right.$ .
Viết phương trình mặt cầu

$(S ),$ biết rằng tâm

$I$ của mặt cầu là giao điểm của

$(d)$ với

$(P)$ , ngoài ra mặt phẳng

$(Q)$ cắt hình cầu

$(S )$ theo thiết diện là hình tròn với diện tích

$20\pi$

score 0 · Answer 1

Trước hết tìm giao điểm I của mặt cầu.
Vì nó là giao điểm của (d) với (P), nên ta có hệ phương trình sau để xác định tọa độ của I

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - y + 2z - 3 = 0}\\ { - x + 3y + z = 0}\\ {5{\rm{x}} - {\rm{4}}y + z - 6 = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {y = 0}\\ {z = 1} \end{array}} \right.$ .
Vậy I(1,0,1) là tâm của mặt cầu (S )
Khoảng cách h từ I tới (Q) là

$h = \frac{{\left| {2 + 1 + 7} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 1} }} = \frac{{10}}{{\sqrt 6 }}$
Gọi r là bán kính hình tròn thiết diện, ta có

$\pi .{r^2} = 20\pi \Rightarrow {r^2} = 20$ .
Khi đó nếu gọi R là bán kính của (S ), thì

${R^2} = {r^2} + {h^2} = 20 + \frac{{100}}{6} = \frac{{110}}{3}$
Vậy mặt cầu (S ) có phương trình

${(x - 1)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = \frac{{110}}{3}$

Bài 101262

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101262

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan