Bài 101244

Question

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$ và đường thẳng $(d)$ lần lượt có phương trình: $(P): 2x - y - 2z - 2 = 0; (d)$: $\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{1}$.
Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng $(d)$, cách mặt phẳng $(P)$ một khoảng bằng $2$ và cắt mặt phẳng $(P)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng $3$.

score 0 · Answer 1

Đường thẳng (d) có phương trình tham số là: $\left\{ \begin{array}{l}
x = - t\\
y = - 1 + 2t\\
z = 2 + t
\end{array} \right.;{\rm{ }}t \in R$
Gọi tâm mặt cầu là I. Giả sử $I(-t; -1 + 2t; 2+ t) \in d$.
Vì tâm mặt cầu cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 nên:
$d(I;(P) ) = \frac{{| - 2t + 1 - 2t - 4 - 2t - 2|}}{3} = \frac{{|6t + 5|}}{3} = 3\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = \frac{2}{3}\\
t = - \frac{7}{3}
\end{array} \right.$
Vậy có hai tâm mặt cầu: $I_1\left( { - \frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{8}{3}} \right) ;I_2\left( {\frac{7}{3}; - \frac{{17}}{3}; - \frac{1}{3}} \right)$
Vì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính bằng 4 nên mặt cầu có bán kính là R = 5.
Vậy có 2 mặt cầu thỏa mãn đề bài có phương trình là:
${\left( {x + \frac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{8}{3}} \right)^2} = 25$
${\left( {x - \frac{7}{3}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{{17}}{3}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{3}} \right)^2} = 25$

Bài 101244

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101244

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan