|
|
a. Ta có: (d1) là đường thẳng qua M1(0,0,4) và có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = (2,1,0)$,
(d2) là đường thẳng qua M2(3,0,0) và có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} = (1, - 1,0)$.
Rõ ràng (d1) không song song với (d2) (vì $\overrightarrow {{u_1}} $ không cùng hướng với $\overrightarrow {{u_2}} $).
Xét hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2t + t - 3 = 0}\\
{8t + 4t + 12 - 12 = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = 1}\\
{t = 0}
\end{array}} \right.$
Vậy hệ vô nghiệm, tức là (d1) và (d2) chéo nhau
Chú ý: Dĩ nhiên có thể chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau bằng cách tính và thấy $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \ne 0$
b. Xét hai đường thẳng đã cho dưới dạng tham số$({d_1}):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2t}\\
{y = t}\\
{z = 4}
\end{array}} \right.;{\rm{ (}}{{\rm{d}}_{\rm{2}}}{\rm{):}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2s}\\
{y = - s}\\
{z = 0}
\end{array}} \right.$.
Gọi M, N tương ứng là chân đoạn vuông góc chung trên (d1), (d2). Ta có M(2t,t,4), N(3+s,-s,0) $ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = (s - 2t + 3, - s - t, - 4)$. Vì $\overrightarrow {MN} . \overrightarrow {{u_1}}=0 ;\overrightarrow {MN}. \overrightarrow {{u_2}}=0 {\rm{ }}$, nên ta có hệ phương trình sau để xác định t và s
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2(s - 2t + 3) - (s + t) = 0}\\
{s - 2t + 3 + s + t = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{s - 5t = - 6}\\
{2s - t = - 3}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = 1}\\
{s = - 1}
\end{array}} \right.$
Vậy chân đoạn vuông góc chung là M(2,1,4) và N(2,1,0). Tâm I hình cầu là trung điểm MN,
nên I(2,1,2), ngoài ra bán kính $R = \frac{MN}{2}= 2$.
Do vậy mặt cầu có phương trình ${(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4$
|