Bài 100984

Question

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ sao cho $A$ trùng với $O$; $B\left( {1,0,0} \right);D\left( {0,1,0} \right);A'\left( {0,0,1} \right)$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB, N$ là tâm của hình vuông $ADD’A’$
$1$. Viết phương trình mặt cầu $S$ đi qua các điểm $C, D’, M, N$.
$2$. Tính bán kinh đường tròn giao của $S$ với mặt cầu đi qua các điểm $A’, B’, C’, D$.
$3$. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương cắt bới mặt phẳng $(CMN)$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/25/2012 2:09:11 PM

$1$ .$C\left( {1,1,0} \right);D'\left( {0,1,1} \right);M\left( {\frac{1}{2},0,0} \right);N\left( {0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right)$
Mặt cầu có phương trình: ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2mx + 2ny + 2pz + q = 0$ đi qua $4$ điểm đó khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}
2 + 2m + 2n + q = 0\\
2 + 2n + 2p + q = 0\\
2 + m + q = 0\\
\frac{1}{2} + n + p + q = 0
\end{array} \right. \Rightarrow m = p,n = - \frac{1}{4},p = - \frac{5}{4},q = 1$
Vậy mặt cầu $S$ có phương trình: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - \frac{5}{2}x - \frac{1}{2}y - \frac{5}{2}z + 1 = 0 \left( 1 \right)$
Hay ${\left( {x - \frac{5}{4}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{4}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{5}{4}} \right)^2} = \frac{{35}}{{16}}$

$2$. Mặt cầu đi qua $A’, B, C’, D$ là mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương, nó có phương trình ${\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z = 0 \left( 2 \right)$

Lấy $(1)$ trừ $(2)$ ta đươc $3x - y + 3z - 2 = 0 \left( 3 \right)$ là phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến của $2$ mặt cầu $(1)$ và $(2)$. Khoảng cách từ tâm $\left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right)$ của mặt cầu $(2)$ đến mặt phẳng $(3)$ là $\frac{{\left| {3.\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 3.\frac{1}{2} - 2} \right|}}{{\sqrt {19} }} = \frac{1}{{2\sqrt {19} }}$
Mặt khác $(2)$ có bán kính $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ nên bán kính đường tròn giao tuyến là $\sqrt {\frac{3}{4} - {{\left( {\frac{1}{{2\sqrt {19} }}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{14}}{{19}}}$

$3$. Mặt phẳng $(CMD)$ có phương trình ${\rm{Ax}} + By + Cz + D = 0$ thỏa mãn $A + B + D = 0;\frac{A}{2} = D = 0;\frac{B}{2} + \frac{C}{2} = 0$
Cho $D = -1$ , ta được $A= 2, B = -1, C = 3$. Vì vậy $(CMD)$ có phương trình $2x - y + 3z - 1 = 0$. Hình chiếu thiết diện xuống mặt phẳng $OBCD$ là hình thang $OMCD$. Hình thang này có diện tích $3/4$ .
Cosin của góc giữa mặt phẳng $(CMD)$ và mặt phẳng $(OBCD)$ là $\frac{3}{{\sqrt {4 + 1 + 9} }} = \frac{3}{{\sqrt {14} }}$ nên diện tích của thiết diện là $\frac{{\frac{3}{4}}}{{\frac{3}{{\sqrt {14} }}}} = \frac{{\sqrt {14} }}{4}$.

Bài 100984

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100984

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan