Bài toán

Question

Cho hàm số $y = {x^3} + (1 - 2m){x^2} + (2 - m)x + m + 2 (C)$. Tìm $m$ để hàm số có CĐ, CT thỏa mãn $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| > \frac{1}{3}$ , với ${x_1};{x_2}$ là hoành độ các điểm cực trị.

score 0 · Answer 1

Ta có: $y' = 3{x^2} + 2(1 - 2m)x + (2 - m)$
Hàm số có CĐ, CT $ \Leftrightarrow y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \Delta ' = {(1 - 2m)^2} - 3(2 - m) = 4{m^2} - m - 5 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > \frac{5}{4}\\ m < - 1 \end{array} \right.$ (*)
Với điều kiện (*), gọi ${x_1} < {x_2}$ là 2 nghiệm phân biệt của $y’ = 0$. Hàm số đạt cực trị tại các điểm ${x_1};{x_2}$. Áp dụng định lí Vi-, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = - \frac{{2(1 - 2m)}}{3}\\ {x_1}{x_2} = \frac{{2 - m}}{3} \end{array} \right.$ Ta có: $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| > \frac{1}{3} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} > \frac{1}{9}$
$\Leftrightarrow 4(1-2m)^2-12(2-m)>1 \Leftrightarrow 16m^2-4m-21>0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x> \frac{1+ \sqrt{85} }{8} \\ m< \frac{1- \sqrt{85} }{8} \end{gathered} \right. $
Kết hợp với điều kiện $(*)$ ta được: $\left[ \begin{gathered} m> \frac{1+ \sqrt{85} }{8} \\ m< \frac{1- \sqrt{85} }{8} \end{gathered} \right.$

Bài toán

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài toán

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan