Bài 112710

Question

Cho $x,y$ là các số thực không âm. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau:
$P=\frac{(x-y)(1-xy)}{(1+x)^2.(1+y)^2}$

score 1 · Answer 1

Do $x,y\geq 0$, nên hiển nhiên ta có:
$|(x-y)(1-xy)|\leq |(x+y)(1+xy)|=(x+y)(1+xy)$.
Vì thế $|P|=\frac{|(x-y)(1-xy|}{(1+x)^2(1+y)^2}\leq \frac{(1+xy)(x+y)}{[(x+y)+(1+xy)]^2} (1)$
Theo bất đẳng thức côsi ta có: $(x+y)+(1+xy)\geq 2\sqrt{(x+y)(1+xy)} (2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra: $|P|\leq \frac{1}{4}\Rightarrow -\frac{1}{4}\leq P\leq \frac{1}{4} (3)$
Kết hợp với khi $x=1, y=0$ thì $P=\frac{1}{4}$
khi $x=0, y=1$ thì $P=-\frac{1}{4}$
Tóm lại $P$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{1}{4}$ và đặt giá trị nhỏ nhất bằng $-\frac{1}{4}$.

Bài 112710

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112710

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan