Bài 112575

Question

Hãy xác định dạng của tam giác $ABC$ để: $\cot A + \cot B+\cot C$ đạt giá trị nhỏ nhất.

cobedangyeu_pro97 · Answer 1 · 7/19/2012 5:17:46 PM

Đặt $T=\cot A+\cot B+\cot C$
Không mất tính tổng quát giả sử: $0<A \leq B \leq C$ nên $0<A \leq B \leq \frac{ \pi}{ 2} $
Ta có : $\cot A + \cot B=\frac{ \sin (A+B)}{\sin A \sin B } = \frac{4 \sin \frac{ A+B}{ 2}\cos \frac{ A+B}{ 2}   }{ \cos (A-B)- \cos (A+B)} $
Do $0<\cos (A-B) \leq 1$
nên $\cot A + \cot B \geq \frac{4 \sin \frac{ A+B}{ 2} \cos \frac{ A+B}{ 2}   }{ 2 \sin ^2 \frac{ A+B}{ 2} } $
      $\Rightarrow \cot A +\cot B \geq 2 \cot \frac{ A+B}{ 2}=2 \tan \frac{ C}{ 2} $
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $A=B.$
Áp dụng công thức $\cot 2a = \frac{1-\tan ^2 a }{ 2 \tan a} = \frac{ 1}{ 2 \tan a} -\frac{1 }{ 2} \tan a$
ta được $\cot C = \frac{ 1}{2 \tan \frac{ C}{ 2}}- \frac{ 1}{ 2} \tan \frac{ C}{ 2} $
Vậy $T \geq 2 \tan \frac{ C}{ 2} +\frac{ 1}{2 \tan \frac{ C}{ 2} } - \frac{1 }{2 } \tan \frac{ C}{ 2}$
       $T \geq \frac{ 3}{ 2} \tan \frac{ C}{ 2} +\frac{ 1}{ 2 \tan \frac{ C}{ 2} }. $ Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có :
                  $\frac{ 3}{ 2}\tan \frac{C }{2 } +\frac{ 1}{ 2 \tan \frac{C }{2 } } \geq 2 \sqrt{\frac{ 3}{ 2} \tan \frac{ C}{ 2}.\frac{ 1}{ 2 \tan \frac{ C}{ 2} } } $
Ta được $T \geq \sqrt{3}$. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
         $\left\{ \begin{array}{l}
A = B\\
\frac{3}{2}\tan \frac{C}{2} = \frac{1}{{2\tan \frac{C}{2}}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A = B\\
\tan \frac{C}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A = B\\
C = {60^0}
\end{array} \right.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $\cot A+\cot B+\cot C$ là $\sqrt{3} $ đạt được khi tam giác $ABC$ đều.

Bài 112575

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112575

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan