Bài 112496

Question

Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng $d: \begin{cases}8x-11y+8z-30=0 \\ x-y-2z=0 \end{cases}$
và tiếp xúc với mặt cầu $(S): x^2+y^2+z^2+2x-6y+4z-15=0$

score 0 · Answer 1

Viết lại $(S)$ dưới dạng : $(x+1)^2+(y-3)^2+(z+2)^2=29$.
Vậy $(S)$ có tâm $I(-1;3;-2)$ và bán kính $R=\sqrt{29}$. Tiếp diện $(P)$ chứa $d$ nên nó thuộc chùm mặt phẳng :
$\alpha(8x-11y+8z-30)+\beta(x-y-2z)=0 ; \alpha^2+\beta^2> 0$.
$\Leftrightarrow (8\alpha+\beta)x+(-11\alpha-\beta)y+(8\alpha-2\beta)z-30\alpha=0 (1)$
Do $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ nên : $d(I,(P))=\sqrt{29}$
$\Leftrightarrow \frac{|-8\alpha-\beta-33\alpha-3\beta-16\alpha+4\beta-30\alpha|}{\sqrt{(8\alpha+\beta)^2+(11\alpha+\beta)^2+(8\alpha-2\beta)^2}}=\sqrt{29}$
$\Leftrightarrow 87|\alpha|= \sqrt{29} \sqrt{249\alpha^2+6\beta^2+6\alpha\beta}\Leftrightarrow 2\alpha^2+\alpha\beta-\beta^2=0\,\,\,\,\,(\beta \neq 0)$
$\Leftrightarrow 2(\frac{\alpha}{\beta})^2-\frac{\alpha}{\beta}-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\alpha}{\beta} = 1\\\frac{\alpha}{\beta} =-\frac{1}{2}\end{array} \right.$.
+Nếu $\frac{\alpha}{\beta}=1$ thì chọn $\alpha=\beta=1$ và ta có: $(P): 3x-4y+2z-10=0$
+Nếu$ \frac{\alpha}{\beta}=-\frac{1}{2}$ thì chọn $\alpha=1; \beta=-2$ và ta có: $(P): 2x-3y+4z-10=0$.

Bài 112496

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112496

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan