Bài 111820

Question

Cho bốn điểm

$A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1),D(-2;1;-2)$

a) Chứng minh rằng

$A,B,C,D$ là bốn đỉnh của một hình tứ diện.

b) Tính góc tạo bởi các cạnh đối của tứ diện đó.

c) Tính thể tích tứ diện

$ABCD$ và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh

$A$ .

score 0 · Answer 1

a) Ta có:

$\overrightarrow {AB}(-1;1;0), \overrightarrow {AC}(-1;0;1), \overrightarrow {AD}(-3;1;-2)$ , từ đó suy ra:

$[\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC}].\overrightarrow {AD}=-4 \Leftrightarrow \overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC}$ và

$\overrightarrow {AD}$ không đồng phẳng.

Vậy, bốn điểm

$A,B,C,D$ là bốn đỉnh của một hình tứ diện.

b) Trước tiên ta tính được

$\overrightarrow {CD}(-2;1;-3), \overrightarrow {BD}(-2;0;-2), \overrightarrow {BC}(0;-1;1)$

Ta lần lượt có góc tạo bởi các cạnh đối của tứ diện:

$\cos (\overrightarrow {AB},\overrightarrow {CD})=\frac{\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {CD}}{|\overrightarrow {AB}|.|\overrightarrow {CD}|}=\frac{3}{2\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{14}$

$\Rightarrow \cos (AB,CD)=\frac{3\sqrt{7}}{14}$

$\cos (\overrightarrow {AC},\overrightarrow {BD})=\frac{\overrightarrow {AC}.\overrightarrow {BD}}{|\overrightarrow {AC}|.|\overrightarrow {BD}|}=0 \Rightarrow \cos (AC,BD)=0$

$\Leftrightarrow (AC,BD)= 90^{0} \Leftrightarrow AC \bot BD$

$\cos (\overrightarrow {AD},\overrightarrow {BC})=\frac{\overrightarrow {AD}.\overrightarrow {BC}}{|\overrightarrow {AD}|.|\overrightarrow {BC}|}=-\frac{3}{2\sqrt{7}}=-\frac{3\sqrt{7}}{14}$

$\Rightarrow \cos (AB,CD)=\frac{3\sqrt{7}}{14}$

c)Thể tích tứ diện

$ABCD$ được cho bởi:

$V_{ABCD}=\frac{1}{6}|[\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC}].\overrightarrow {AD}|=\frac{1}{6}|-4|=\frac{2}{3}$

Độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh

$A$ được cho bởi:

$V_{ABCD}=\frac{1}{3}h_{A}.S_{\Delta BCD} \Leftrightarrow h_{A}=\frac{3V_{ABCD}}{S_{\Delta BCD} }=\frac{3V_{ABCD}}{\frac{1}{2}[\overrightarrow {BD},\overrightarrow {BC}]}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Bài 111820

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111820

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan