Bài 111733

Question

Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1)$ và $D(1;1;1)$.
a) Chứng minh rằng $A,B,C$ không thẳng hàng.Tính diện tích $\Delta ABC$.
b) Chứng minh rằng $A,B,C,D$ không đồng phẳng. Tính thể tích tứ diện $ABCD$ và độ dài đường cao của tứ diện $ABCD$ kẻ từ đỉnh $D$.
c) Tìm tọa độ điểm $I$ cách đều bốn đỉnh $A,B,C,D$.
d) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc $H$ của $D$ lên mặt phẳng $(ABC)$.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/13/2012 9:31:30 AM

a) $\frac{25}{2}$
b) Ta có: $\overrightarrow {AD} (2;3;-3)$ suy ra:
$[\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC}].\overrightarrow {AD}=(0;-25;0)(2;3;-3)=-75$
$\Rightarrow \overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC},\overrightarrow {AD}$ không đồng phẳng $\Leftrightarrow A,B,C,D$ không đồng phẳng.
Ta có:
$V_{ABCD}=\frac{1}{6}|[\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC}].\overrightarrow {AD}|=\frac{1}{6}|-75|=\frac{25}{2}$ $(đvtt)$.
Độ dài đường cao của tứ diện kể từ đỉnh $D$ được cho bởi:
$V_{ABCD}=\frac{1}{3}h_{D}.S_{\Delta ABC} \Leftrightarrow h_{D}=\frac{3V_{ABCD}}{S_{\Delta ABC}}=3$
c) $I(-\frac{1}{2};-\frac{13}{6};\frac{1}{2})$
d) Giả sử $H(x;y;z)$ khi đó ta có điều kiện:
$\begin{cases} \overrightarrow {DH} \bot (ABC) \\ H \in (ABC) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \overrightarrow {DH} \bot \overrightarrow {AB} \\ \overrightarrow {DH} \bot \overrightarrow {AC}\\ \overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC},\overrightarrow {AH} đồng phẳng \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \overrightarrow {DH}.\overrightarrow {AB}=0 \\\overrightarrow {DH}.\overrightarrow {AC}=0 \\ \overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC},\overrightarrow {AH} đồng phẳng \end{cases} $

$\Leftrightarrow \begin{cases} (x-1;y-1;z-1).(-3;0;-4)=0 \\ (x-1;y-1;z-1).(4;0;-3)=0 \\ (0;-25;0).(x+1;y+2;z-4)\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3x+4z=7 \\ 4x-3z=1 y=-2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=1 \\ y=-2 \\ z=1 \end{cases} $
$\Rightarrow H(1;-2;1)$

Bài 111733

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111733

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan