|
|
Giải
Ta có:
a) Ta lần lượt:
* Hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ là điểm $E(3;-1;0)$. Từ đó, vì $E$ là trung điểm của $AA_{1}$ nên $A_{1}(3;-1;-1)$.
* Hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên trục $Ox$ là điểm $F(3;0;0)$. Từ đó, vì $F$ là trung điểm của $AA_{2}$ nên $A_{2}(3;1;-1)$.
b) Ta có: $\overrightarrow {DA}(1;0;0)=\overrightarrow {i}, \overrightarrow {DB}(0;1;0)=\overrightarrow {j}, \overrightarrow {DC}(0;0;1)=\overrightarrow {k}$
và vì $\overrightarrow {i}, \overrightarrow {j}, \overrightarrow {k}$ không đồng phẳng nên ba vectơ $\overrightarrow {DA}, \overrightarrow {DB}, \overrightarrow {DC}$ không đồng phẳng.
Vậy, bốn điểm $A,B,C,D$ là bốn đỉnh của một hình tứ diện.
c) Thể tích $V$ của tứ diện $ABCD$ được cho bởi:
$V=\frac{1}{6}|[\overrightarrow {DA},\overrightarrow {DB}].\overrightarrow {DC}|=\frac{1}{6}$ (đvtt)
d) Ta lần lượt có:
$\begin{cases} DA=\sqrt{1^{2}+0+0}=1 \\ DB=\sqrt{0+1^{2}+0}=1 \\DC=\sqrt{0+0+1^{2}}=1 \end{cases} \Rightarrow DA=DB=DC=1$
Tương tự ta cũng có $AB=BC=CA=\sqrt{2}$.
Vậy, hình chóp $D.ABC$ là hình chóp đều.
e) Dựa theo kết quả câu d) ta suy ra chân đường cao $H$ của hình chóp $D.ABC$ chính là trọng tâm của $\Delta ABC$, do đó:
$\overrightarrow {OH}=\frac{1}{3}(\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC})$
$\Leftrightarrow H(\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3};\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3};\frac{z_{A}+z_{B}+z_{C}}{3})=(\frac{7}{3};-\frac{2}{3};\frac{4}{3})$
f) Với cặp cạnh $AD$ và $BC$,ta có:
$\overrightarrow {DA}(1;0;0),\overrightarrow {BC}(0;-1;1) \Rightarrow \overrightarrow {DA}.\overrightarrow {BC}=0 \Leftrightarrow AD \bot BC.$
Chứng minh tương tự ta cũng có $AB \bot CD, AC \bot BD$
Vậy,tứ diện $ABCD$ có các cạnh đối vuông góc với nhau.
g) Giả sử $I(x;y;z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$, ta có:
$\begin{cases} AI=BI \\ AI=CI \\ AI=DI \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x-3)^{2}+(y+1)^{2}+(z-1)^{2}=(x-2)^{2}+y^{2}+(z-1)^{2} \\ (x-3)^{2}+(y+1)^{2}+(z-1)^{2}=(x-2)^{2}+(y+1)^{2}+(z-2)^{2} \\ (x-3)^{2}+(y+1)^{2}+(z-1)^{2}=(x-2)^{2}+(y+1)^{2}+(z-1)^{2} \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases} x-y=3 \\ x-z=1 \\ 2x=5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=\frac{5}{2} \\ y=-\frac{1}{2} \\ z=\frac{3}{2} \end{cases} \Rightarrow I(\frac{5}{2};-\frac{1}{2};\frac{3}{2})$.
Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ là $I(\frac{5}{2};-\frac{1}{2};\frac{3}{2})$ và bán kính $R=IA=\frac{\sqrt{3}}{2}$
|