Bài 111073

Question

Cho $\Delta ABC$ có hai đường cao $BE, CF$ cắt nhau tại $H$.
a) Chứng minh rằng: $\overline{HB}.\overline{HE}=\overline{HC}.\overline{HF}.$
b) $AH$ cắt $BC$ tại $K$. Gọi $O, R$ lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn $(ABC)$. Chứng minh rằng nếu $H$ là trung điểm của $AK$ thì ta có hệ thức: $2OK^2+AK^2=2R^2$.

score 0 · Answer 1

a) Ta có: $\widehat{BEG} =\widehat{BFC}=90^\circ $
$\Rightarrow $ Tứ giác $BCEF$ nội tiếp được trong đường tròn đường kính $BC$
$\Rightarrow    \overline{HB}.\overline{HE}=\overline{HC}.\overline{HF}.$

b) Hai tam giác vuông $KAB$ và $KCH$ đồng dạng do $\widehat{KAB}=\widehat{HCK} $ nên ta có:
$\frac{KB}{KH}=\frac{KA}{KC} $
$\Rightarrow    KB.KC=KH.KA=\frac{1}{2}KA^2 $
($H$ là trung điểm của $AK$)
$\Rightarrow    \overline{KB}.\overline{KC}=-\frac{1}{2}KA^2     \Rightarrow      P_{K/(ABC)}=-\frac{1}{2}KA^2 $
$\Rightarrow OK^2-R^2=-\frac{1}{2}KA^2     \Rightarrow      2OK^2+AK^2=2R^2$.

Bài 111073

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111073

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan