Bài 111096

Question

Cho

$\Delta ABC$ có độ dài

$3$ cạnh là

$a, b, c$ . Gọi

$G$ là trọng tâm của tam giác.
a) Tính phương tích của

$G$ đối với đường tròn

$(ABC)$ theo

$a, b, c$ .
b)

$GA, GB, GC$ gặp lại đường tròn

$(ABC)$ lần lượt tại

$A', B', C'$ .
Tính

$\frac{1}{GA^2}+\frac{1}{GB^2}+\frac{1}{GC^2}$ theo

$a, b, c$ .

score 2 · Answer 1

a) Gọi

$G$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp

$\Delta ABC$ . Vì

$G$ là trọng tâm của

$\Delta ABC$ nên:

$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} )$

$\Rightarrow 9OG^2=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} )^2$

$= \overrightarrow{OA^2}+\overrightarrow{OB}^2+\overrightarrow{OC}^2+2(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA} )$
Mà

$OA=OA=OC=R$ nên:

$9OG^2=3R^2+2(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA} )$
Ta lại có:

$AB^2=\overrightarrow{AB}^2=(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB} )^2=OB^2+OA^2-2 \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OA}$

$\Rightarrow AB^2=2OA^2-2 \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} \Rightarrow 2 \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=2OA^2-AB^2$ .
Tương tự:

$2 \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}=2OB^2-BC^2.$

$2 \overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA}=2 \overrightarrow{OC}-CA^2 \Rightarrow 9OG^2=9OA^2-(a^2+b^2+c^2)$
(vì

$OA=OB=OC,AB=c, BC=a, CA=B$ )

$\Rightarrow 9(OG^2-OA^2)=-(a^2+b^2+c^2)$

$\Rightarrow OG^2-OA^2=-\frac{1}{9}(a^2+b^2+c^2)$

$\Rightarrow P_{G/(O)}=-\frac{1}{9}(a^2+b^2+c^2)$

b) Ta có:

$P_{G/(O)}=\overline{GA}.\overline{GA'}=-\frac{1}{9}(a^2+b^2+c^2)$

$\Rightarrow GA^2.GA'^2=\frac{1}{81}(a^2+b^2+c^2)^2$

$\Rightarrow \frac{1}{GA'^2}=\frac{81.GA^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}$
Tương tự ta có:

$\frac{1}{GB'^2}=\frac{81.GB^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}; \frac{1}{GC'^2}=\frac{81.GC^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}$

$\Rightarrow \frac{1}{GA'}+\frac{1}{GB'}+\frac{1}{GC'}=\frac{81(GA^2+GB^2+GC^2)}{(a^2+b^2+c^2)^2}$
Ta dễ dàng chứng minh:

$GA^2+GB^2+GC^2=\frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)$ .
Do đó:

$\frac{1}{GA'^2}+\frac{1}{GB'^2}+\frac{1}{GC'^2} =\frac{27}{a^2+b^2+c^2}$ .

Bài 111096

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111096

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan