Bài 111096

Question

Cho $\Delta ABC$ có độ dài $3$ cạnh là $a, b, c$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác.
a) Tính phương tích của $G$ đối với đường tròn $(ABC)$ theo $a, b, c$.
b) $GA, GB, GC$ gặp lại đường tròn $(ABC)$ lần lượt tại $A', B', C'$.
Tính $\frac{1}{GA^2}+\frac{1}{GB^2}+\frac{1}{GC^2}$ theo $a, b, c$.

score 2 · Answer 1

a) Gọi $G$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$. Vì $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ nên:
              $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}   ) $
$\Rightarrow    9OG^2=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}   )^2$
                       $= \overrightarrow{OA^2}+\overrightarrow{OB}^2+\overrightarrow{OC}^2+2(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA}    ) $
Mà $OA=OA=OC=R$ nên:
$9OG^2=3R^2+2(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA}      )$
Ta lại có: $AB^2=\overrightarrow{AB}^2=(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}   )^2=OB^2+OA^2-2 \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OA}   $
$\Rightarrow AB^2=2OA^2-2 \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}     \Rightarrow     2 \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=2OA^2-AB^2 $.
Tương tự: $2 \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}=2OB^2-BC^2. $
$2 \overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA}=2 \overrightarrow{OC}-CA^2     \Rightarrow     9OG^2=9OA^2-(a^2+b^2+c^2)$
(vì $OA=OB=OC,AB=c, BC=a, CA=B$)
$\Rightarrow    9(OG^2-OA^2)=-(a^2+b^2+c^2)$
$\Rightarrow    OG^2-OA^2=-\frac{1}{9}(a^2+b^2+c^2) $
$\Rightarrow    P_{G/(O)}=-\frac{1}{9}(a^2+b^2+c^2) $

b) Ta có: $P_{G/(O)}=\overline{GA}.\overline{GA'}=-\frac{1}{9}(a^2+b^2+c^2) $
$\Rightarrow    GA^2.GA'^2=\frac{1}{81}(a^2+b^2+c^2)^2 $
$\Rightarrow    \frac{1}{GA'^2}=\frac{81.GA^2}{(a^2+b^2+c^2)^2} $
Tương tự ta có: $\frac{1}{GB'^2}=\frac{81.GB^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}; \frac{1}{GC'^2}=\frac{81.GC^2}{(a^2+b^2+c^2)^2} $
$\Rightarrow    \frac{1}{GA'}+\frac{1}{GB'}+\frac{1}{GC'}=\frac{81(GA^2+GB^2+GC^2)}{(a^2+b^2+c^2)^2}    $
Ta dễ dàng chứng minh:
$GA^2+GB^2+GC^2=\frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2) $.
Do đó: $\frac{1}{GA'^2}+\frac{1}{GB'^2}+\frac{1}{GC'^2} =\frac{27}{a^2+b^2+c^2} $.

Bài 111096

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111096

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan