Bài 109711

Question

Cho hai đường tròn $(C_1): x^2+y^2=R_1^2$ và $(C_2):x^2+y^2=R_2^2$ với $R_2> R_1$, Từ điểm $M\in (C_2)$ kẻ hai tiếp tuyến $MT_1, MT_2$ tới $(C_1)$, trong đó $T_1, T_2$ là các tiếp điểm.
a. Viết phương trình đường thẳng $T_1T_2$ theo tọa độ $M$
b. Chứng minh rằng khi đó các đường thẳng $T_1T_2$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/27/2012 9:36:31 AM

a. Chuyển phương trình $(C_2)$ về dạng tham số: $(C_2):\left\{ \begin{array}{l} x=R_2\sin t\\ y=R_2\cos t \end{array} \right. t\in [0;2\pi]$
Điểm $M(x_0, y_0)\in (C_2)\Rightarrow M(R_2\sin t; R_2\cos t)$
Gọi tọa độ của tiếp điểm $T(x_1; y_1)$ ta có:
- Tiếp tuyến của đường tròn $(C_1)$ tại $(x_1; y_1)$ có dạng: $x.x_1+y.y_1=R_1^2$
- Tiếp tuyến trên đi qua điểm $M(x_0; y_0)$, ta được: $x_0.x_1+y_0.y_1=R_1^2 (1)$
Nhận thấy tọa độ $T_1, T_2$ đều thỏa mãn $(1)$, vậy phương trình đường thẳng $(T_1T_2)$ có dạng: $x.x_0+y.y_0=R_1^2\Leftrightarrow T_1T_2:xR_2\sin t+yR _2\cos t =R_1^2$
b. Gọi $N(x;y)$ là điểm mà $(T_1T_2)$ không đi qua với mọi $t$, khi đó:
$xR_2\sin t+yR_2\cos t=R_1^2$ vô nghiệm $t\Leftrightarrow (xR_2)^2+(yR_2)^2<R_1^4\Leftrightarrow x^2+y^2<\frac{R_1^4}{R_2^2} $
Ta đi chứng minh $(T_1T_2)$ luôn tiếp xúc với đường tròn $(C): x^2+y^2=\frac{R_1^4}{R_2^2}$
Thật vậy: $d(O, T_1T_2)=\frac{|R_1^2|}{\sqrt{R_2^2\sin^2 t+R_2^2\cos^2 t} } =\frac{R_1^2}{R_2} $
Vậy, đường thẳng $(T_1T_2)$ luôn tiếp xúc với đường tròn $(C):x^2+y^2=\frac{R_1^4}{R_2^2} $

Cho mình hỏi, ở bước Pt tham số của $(C_2)$, tại sao lại cần điều kiện là $t\in [0, 2\pi]$???

Bài 109711

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109711

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan