Bài 109596

Question

Cho hai đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ có phương trình: $(C_1):x^2+y^2-8=0$ và $(C_2):x^2+y^2-4x=0$
1. Chứng minh rằng hai đường tròn $(C_1), (C_2)$ cắt nhau. Lập phương trình đường thẳng đi qua các giao điểm đó.
2. Viết phương trình đường tròn qua giao điểm của $(C_1)$ và $(C_2)$ và:
a. Đi qua điểm $M(6;2)$
b. Tiếp xúc với đường thẳng $(d):x-2y+4=0$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/26/2012 3:00:36 PM

$1$. Ta có:
- Đường tròn $(C_1)$ có tâm $I_1(0;0)$ và bán kính $R_1=2\sqrt{2} $
- Đường tròn $(C_2)$ có tâm $I_2(2;0)$ và bán kính $R_2=\sqrt{2} $
Ta có: $I_1I_2=2$ và:
$|R_1-R_2|=2\sqrt{2}-2<I_1I_2<2\sqrt{2}+2=R_1+R_2\Leftrightarrow (C_1)\cap(C_2)= ${A,B}
Bằng cách trừ phương trình của $(C_1)$ cho $(C_2)$ ta được: $-8+4x=0\Leftrightarrow x-2=0$
Đó chính là đường thẳng đi qua hai giao điểm $A, B$

$2$. Đường tròn $(S)$ đi qua các giao điểm của $(C_1)$ và $(C_2)$ có dạng:
$\begin{array}{l}
(S):\lambda ({x^2} + {y^2} - 4x) + \mu ({x^2} + {y^2} - 8) = 0\\
\Leftrightarrow (S):(\lambda + \mu ){x^2} + (\lambda + \mu ){y^2} - 4\lambda x - 8\mu = 0\,\,\,(1)
\end{array}$
có tâm $I(\frac{{2\lambda }}{{\lambda + \mu }};0)$ và bán kính ${R^2} = \frac{{4{\lambda ^2}}}{{{{(\lambda + \mu )}^2}}} + \frac{{8\mu }}{{\lambda + \mu }}$

a. Điểm $M(6;2)\in (S)$, ta được: $(\lambda + \mu ){.6^2} + (\lambda + \mu ){.2^2} - 4\lambda .6 - 8\mu = 0 \Leftrightarrow \lambda = - 2\mu $
Thay $\lambda = - 2\mu$ vào (1) ta được:
$(S): - 2\mu ({x^2} + {y^2} - 4x) + \mu ({x^2} + {y^2} - 8) = 0 \Leftrightarrow (S):{x^2} + {y^2} - 8x + 8 = 0$

b. $(S)$ tiếp xúc đường thẳng $(d)$ ta được:
$\begin{array}{l}
d(I,(d)) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {\frac{{2\lambda }}{{\lambda + \mu }} + 4} \right|}}{{\sqrt {1 + 4} }} = \sqrt {\frac{{4{\lambda ^2}}}{{{{(\lambda + \mu )}^2}}} + \frac{{8\lambda }}{{\lambda + \mu }}} \\
\Leftrightarrow {\left( {\frac{{2\lambda }}{{\lambda + \mu }} + 4} \right)^2} = 5\left[ {\frac{{4{\lambda ^2}}}{{{{(\lambda + \mu )}^2}}} + \frac{{8\lambda }}{{\lambda + \mu }}} \right] \Leftrightarrow 2{\lambda ^2} + \lambda \mu - 3{\mu ^2} = 0
(*)\end{array}$
Đặt $t = \frac{\lambda }{\mu }$
$ (*) \Leftrightarrow 2{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t = - \frac{3}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\lambda = \mu \\
\lambda = - \frac{{3\lambda }}{2}
\end{array} \right.$
- Với $\lambda = \mu $ ta được:
$({S_1}):\lambda ({x^2} + {y^2} - 4x) + \lambda ({x^2} + {y^2} - 8) = 0 \Leftrightarrow ({S_1}):{x^2} + {y^2} - 2x - 4 = 0$
- Với $\lambda = - \frac{{3\mu }}{2}$, ta được:
$({S_2}): - \frac{{3\mu }}{2}({x^2} + {y^2} - 4x) + \mu ({x^2} + {y^2} - 8) = 0 \Leftrightarrow ({S_2}):{x^2} + {y^2} - 12x + 16 = 0$
Vậy tồn tại $2$ đường tròn $(S_1), (S_2)$ thỏa mãn điều kiện đề bài

Bài 109596

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109596

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan