Bài 109317

Question

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng $(d), (d_1), (d_2)$, cho bởi:
$(d): \begin{cases}x=v \\ y=-2v\\z=6+v \end{cases} ; (d_1): \begin{cases}x=1+t \\ y=2+t\\z=3+t \end{cases}; (d_2): \begin{cases}x=2u \\ y=u\\z=2 \end{cases} , t, u \in R $
1. Chứng minh rằng $(d_1), (d_2)$ chéo nhau
2. Lập phương trình mặt cầu với $(d_1), (d_2)$ và có tâm thuộc đường thẳng (d)

score 0 · Answer 1

1. Xét hệ phương trình tạo bởi $(d_1), (d_2)$:
         $\begin{cases}1+t=2u \\ 2+t=u\\3+t=2 \end{cases} $ vô nghiệm $\Rightarrow (d_1) \cap (d_2)=\varnothing $
Từ phương trình của $(d_1), (d_2)$ suy ra:
         $\overrightarrow{a_1}(1; 1; 1) . \overrightarrow{a_2}(2; 1; 0) $ là vtcp của $(d_1), (d_2)$
         $ \Rightarrow \overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2} $ không cùng phương
Vậy $(d_1), (d_2)$ chéo nhau
2. Giả sử mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với $(d_1), (d_2)$ theo thứ tự tại A, B suy ra:
         $I(v, -2v, 6v) ; A(1+t; 2+t; 3+t) ; B(2u; u; 2)$
         $\Rightarrow \overrightarrow{IA}(1+t-v; 2+t+2v; t-v-3) ; \overrightarrow{IB}(2u-v; u+2v; -4-v) $
Ta có điều kiện:
         $\begin{cases}\overrightarrow{IA} \bot (d_1)   \\ \overrightarrow{IB} \bot (d_2)\\IA=IB \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\overrightarrow{IA} \bot \overrightarrow{a_1}   \\ \overrightarrow{IB} \bot \overrightarrow{a_2}\\IA=IB   \end{cases}   \Leftrightarrow \begin{cases}\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{a_1}=0   \\ \overrightarrow{IB}.\overrightarrow{a_2}=0\\IA^2=IB^2   \end{cases} $
         $\Leftrightarrow \begin{cases}1+t-v+2+t+2v+t-v-3=0 \\ 2(2u-v)+u+2v=0\\(1+t-u)^2+(2+t+2v)^2+(t-v-3)^2=(2u-v)^2+(u+2v)^2+(4+u)^2 \end{cases} $
         $\Leftrightarrow \begin{cases}t=0 \\ u=0\\v=\frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}Tọa độ I(\frac{1}{2}; -2; \frac{13}{2})   \\ IA=\frac{\sqrt{86} }{2} \end{cases} $
Mặt cầu (S) có phương trình:
$$(x-\frac{1}{2})^2+(y+1)^2+(z-\frac{13}{2})^2=\frac{43}{2}   $$

Bài 109317

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109317

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan