|
|
Xét hai đường thẳng $(d_1):x+y-2=0$ và $(d_2):x+ay-3=0$
Vậy giá trị nhr nhất của $F$ tùy thuộc vào vị trí tương đối của $(d_1)$ và $(d_2)$
Xét hệ phương trình tạo bởi $(d_1)$ và $(d_2)$ có dạng: $\left\{ \begin{array}{l} x+y=2\\ x+ay=3 \end{array} \right. $
Ta có: $D = \left| \begin{array}{l}
1\,\,\,\,\,\,\,\,1\\
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,a
\end{array} \right| = a - 1,\,\,{D_x} = \left| \begin{array}{l}
2\,\,\,\,\,\,\,\,1\\
3\,\,\,\,\,\,\,\,a
\end{array} \right| = 2a - 3,\,\,D = \left| \begin{array}{l}
1\,\,\,\,\,\,\,\,2\\
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,3
\end{array} \right| = 1$
a. Nếu $D\neq 0\Leftrightarrow a-1\neq 0\Leftrightarrow a\neq 1$
Hệ có nghiệm duy nhất $x=\frac{2a-3}{a-1} $ và $y=\frac{1}{a-1} \Rightarrow (d_1)$ cắt $(d_2)$ do đó $\min F=0$
b. Nếu $D=0\Leftrightarrow a-1$
với $a=1\Rightarrow D_x=-1\neq 0$ hệ vô nghiệm
Khi đó $(d_1)//(d_2)$ do đó: $F=(x+y-2)^2+(x+y-3)^2$
Đặt $t=x+y-2$, ta được $F=t^2+(t-1)^2=2t^2-2t+1\geq \frac{3}{4} $
Vậy $\min F=\frac{3}{4} $ đạt được khi: $t=\frac{1}{2} \Leftrightarrow x+y-2=\frac{1}{2} \Leftrightarrow 2x+2y-5=0$
Kết luận:
- Với $a\neq 1: \min F=0$ đạt được khi $x=\frac{2a-3}{a-1} $ và $y=\frac{1}{a-1} $
- Với $a=-4: \min F=\frac{3}{4} $ đạt được khi $x, y$ thỏa mãn $2x+2y-5=0$
|
|
|
Đăng bài 21-06-12 03:14 PM
|
|