Bài 108920

Question

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình tứ diện ABCD biết A(4; 1; 4), B(3; 3; 1), C(1; 5; 5), D(1; 1; 1)
Tìm hình chiếu vuông góc của D lên (ABC) và tính thể tích tứ diện ABCD

score 0 · Answer 1

Gọi $\overrightarrow{n} $ là một vtpt của (ABC) khi đó:
           $\begin{cases}\overrightarrow{n} \bot \overrightarrow{AC}(-3; 4; 1)   \\ \overrightarrow{n} \bot \overrightarrow{BC}(-2; 2; 4)   \end{cases} \Rightarrow \overrightarrow{n}\left( {\left| \begin{array}{l}
4\\
2
\end{array} \right.\left. \begin{array}{l}
1\\
4
\end{array} \right|; \left| \begin{array}{l}
1\\
4
\end{array} \right.\left. \begin{array}{l}
-3\\
-2
\end{array} \right|; \left| \begin{array}{l}
-3\\
-2
\end{array} \right.\left. \begin{array}{l}
4\\
2
\end{array} \right|} \right)=(14; 10; 2)   $
Chọn $\overrightarrow{n}(7; 5; 1) $
Mặt phẳng (ABC) được cho bởi :
         $(ABC): \begin{cases}qua A(4; 1; 4) \\ vtpt \overrightarrow{n}(7; 5; 1) \end{cases} \Leftrightarrow (ABC): 7x+5y+z-37=0          (1)$
Gọi (d) là đường thẳng qua D và vuông góc với (ABC), khi đó:
         $(d): \begin{cases}qua D(1; 1; 1) \\ vtcp \overrightarrow{n}(7; 5; 1) \end{cases} \Leftrightarrow (d): \begin{cases}x=1+7t \\ y=1+5t \\z=1+t\end{cases} , t\in R         (2)$
Hình chiếu vuông góc của D lên (ABC) chính là giao điểm $D_1=(d) \cap (ABC)$
Thay (2) vào (1) được:
          $7(1+7t)+5(1+5t)+1+t-37=0 \Leftrightarrow t=\frac{8}{25} \Rightarrow D_1(\frac{81}{25}; \frac{65}{25}; \frac{33}{25})    $
Thể tích tứ diện ABCD là:
          $V_{ABCD}=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} ].\overrightarrow{AD} |=8 $ (đvtt)

Bài 108920

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108920

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan