Bài 108458

Question

Cho đường thẳng (d) và mặt cầu (S) có phương trình:

$(d): \frac{x}{2}=\frac{y+3}{6}=\frac{z+5}{5} ; (S): (x-1)^2+y^2+(z-2)^2=9$
1. Chứng minh rằng đường thẳng (d) không cắt mặt cầu (S)
2. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

score 0 · Answer 1

+) Đường thẳng (d) có vtcp

$\overrightarrow{u}(2; 6; 5)$ và đi qua điểm

$M(0; -3; -5)$
+) Mặt cầu (S) có tâm

$I(1; 0; 2)$ và bán kính

$R=3$
1. Chuyển phương trình của (d) về dạng tham số:

$(d): \begin{cases}x=2t \\ y=6t-3 \\z=5t-5\end{cases} , t\in R$
Thay phương trình tham số của (d) vào phương trình mặt cầu (S) ta được:

$(2t-1)^2+(6t-3)^2+(5t-7)^2=9 \Leftrightarrow 13t^2-22t+10=0$ , vô nghiệm
Vậy đường thẳng (d) không cắt mặt cầu (S)
2. Lấy thêm điểm N(2. 3. 0) thuộc (d), giả sử mặt phẳng (P) cần dựng có phương trình :

$Ax+By+Cz+D=0$ với

$A^2+B^2+C^2>0$
Ta lần lượt có:
+) Vì M, N thuộc (P) nên:

$\begin{cases}-3B-5C+D=0 \\ 2A+3B+D=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}2D=-2A+5C \\ 6B=-2A-5C \end{cases}$
+) Để (P) tiếp xúc với (S) điều kiện là:

$d(I, (P))=R \Leftrightarrow \frac{|A+2C+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2} }=3 \Leftrightarrow (A+2C+D)^2=9(A^2+B^2+C^2)$

$\Leftrightarrow (2A+4C+2D)^2=4.9(A^2+B^2+C^2)$

$\Leftrightarrow (2A+4C-2A+5C)^2=36(A^2+C^2)+(-2A-5C)^2$

$\Leftrightarrow 2A^2+AC-C^2=0 \Leftrightarrow C=-A$ hoặc

$C=2A$
Khi đó:
+)

$C=-A \rightarrow 2D=-7A$ và

$6B=3A$ nên chọn

$A=2$ ta được:

$(P_1): 2x+y-2z-7=0$
+)

$C=2A \rightarrow D=4A$ và

$B=-2A$ nên chọn

$A=1$ , ta được:

$(P_2): x-2y+2z+4=0$

Bài 108458

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108458

1 Đáp án

Liên quan

MẶT CẦU - KHỐI CẦU

Lý thuyết liên quan