Bài 107951

Question

cho parabol $(P): y^2=16x$ và điểm $A(1;4)$.Hai điểm $B,C$ thuộc $(P)$ sao cho $B\neq A,C\neq A,\widehat{BAC}=90^0$. Chứng minh dây cung $BC$ luôn đi qua một điểm cố định

score 0 · Answer 1

Giả sử $B(\frac{m^2}{8};m ),C(\frac{n^2}{8} ;n)$ thuộc $(P)$.Ta có : $\overrightarrow {AB}=(\frac{m^2}{16}-1;m-4 ) $
$\overrightarrow {AC}=(\frac{n^2}{16}-1;n-4 ) $ vì $\widehat{BAC}=90^0 $ nên ta có :
$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}=0\Leftrightarrow \frac{(m^2-16)(n^2-16)}{256} +(m-4)(n-4)=0     (1))$
$\Leftrightarrow (m+4)(n+4)+256=0$ (do $B,C\neq A$ nên $m\neq 4,n\neq 4$)
$\Leftrightarrow mn+4(m+n)+272=0        (2)$
Ta có : $\overrightarrow {BC}=(\frac{n^-m^2}{16} ;n-m) $ là véctơ chỉ phương của đường thẳng $BC$ nên véctơ pháp tuyến của đường thẳng $BC$ là $\overrightarrow {n}=(-1;\frac{n+m}{16} ) $.Do đó, đường thẳng qua $B,C$ có dạng :
$-(x-\frac{m^2}{16}) +\frac{n+m}{16} (y-m)=0$
$\Leftrightarrow -16x+m^2+(m+n)y-(n+m)m=0               (3)$
$\Leftrightarrow -16x+(m+n)y+4(m+n)+272=0$
Đặt $m+n=\alpha$ thì $(3)$ trở thành :
$-16x+\alpha y+4\alpha+272=0\Leftrightarrow -16x+272+\alpha(y+4)=0$
Gọi $(x_0;y_0)$ là điểm cố định của họ $(3)$, ta có hệ phương trình sau :
$\begin{cases}-16x_0+272=0 \\ y_0+4=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x_0=17 \\ y_0=-4 \end{cases} $
Vậy dây cung $BC$ luôn đi qua điểm cố định $I(17;-4)$ (đpcm)

Bài 107951

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107951

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan