Bài 107822

Question

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy là $a$, đường cao $SH=h$. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $AB$ và $(\alpha )\bot SC$
a) Tìm điều kiện của $h$ để $(\alpha )$ cắt cạnh $SC$ tại $K$. Tính diện tích $\Delta ABK$
b) Tính $h$ theo $a$ để $(\alpha )$ chia hình chóp theo hai phần có thể tích bằng nhau. Chứng tỏ khi đó tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/12/2012 9:21:12 AM

Trong $(ABC)$ vẽ $Hy\bot HA$
Chọn hệ trục tọa độ $Hyxz$ sao cho: $H(0;0;0), A(\frac{a\sqrt{3} }{3};0;0 ), S(0;0;h), (HA=\frac{a\sqrt{3} }{3} )$
$\Rightarrow B(-\frac{a\sqrt{3} }{6};\frac{a}{2};0 ), C(-\frac{a\sqrt{3} }{6};-\frac{a}{2};0 )$

a) Gọi $I$ là trung điểm của $AB$
$\Rightarrow I(\frac{a\sqrt{3} }{12};\frac{a}{4};0 )\Rightarrow IK\bot SC, IK\bot AB$
$\begin{array}{l}
IK = \frac{{|{\rm{[}}\overrightarrow {SC} {\rm{,}}\overrightarrow {SI} {\rm{]}}|}}{{SC}} = \frac{{\left| {\left[ { - \frac{1}{2}(a\sqrt 3 ;3a;6h),\,\frac{{ - 1}}{{12}}(a\sqrt 3 ;3a; - 12h)} \right]} \right|}}{{\frac{1}{2}\sqrt {{{(a\sqrt 3 )}^2} + {{(3a)}^2} + {{(6h)}^2}} }}\\
= \frac{{\frac{3}{2}ah|( - 3;\sqrt 3 ;0)|}}{{2\sqrt {3{a^2} + 9{h^2}} }} = \frac{{3ah}}{{2\sqrt {{a^2} + 3{h^2}} }}\\
\Rightarrow {S_{ABK}} = \frac{1}{2}IK.AB = \frac{{3ah}}{{4\sqrt {a + 3h} }} (đvdt)
\end{array}$

b) $(\alpha )$ chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau khi $K$ là trung điểm $SC$
$\Rightarrow IC=IS\Leftrightarrow \frac{3a^2}{4}=\frac{a^2+12h^2}{12} \Leftrightarrow h=a\sqrt{\frac{2}{3} } $
Khi đó, $\Delta CAB=\Delta SAB\Rightarrow SA=SB=a$ và $SC^2=SH^2+CH^2=\frac{2a^2}{3}+\frac{a^2}{3}\Rightarrow SC=a $
$\Rightarrow $ Hình chóp $SABC$ đều

Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp và tâm mặt cầu nội tiếp của $SABC$ trùng nhau

Bài 107822

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107822

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan