Bài 106397

Question

Trong không gian $Oxyz$ cho $A(a;0;0), B(0;a;0), C(a;a;0), D(0;0;d)$ với $>0,d>0$. Gọi $A',B'$ là hình chiếu vuông góc của $O$ xuống hai đường thẳng $DA,DB$
a) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng $OA',OB'$. Chứng minh rằng mặt phẳng đó vuông góc với $CD$
b) Tính $d$ theo $a$ để $\widehat{A'OB'}=45^0$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/31/2012 4:09:50 PM

a) Ta có: $\overrightarrow{AD}=(-a;0;d),\overrightarrow{AC}=(0;a;0), \overrightarrow{BD}=(0;-a;d), AC\bot mp(Oxz) $
$\Rightarrow AC\bot OA'(vì OA'\subset (Oxz))$
Mà $OA'\bot AD$ nên $\overrightarrow{OA'} $ cùng phương với $[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} ]=(ad;0;a^2)=a(d;0;a)$
Tương tự: $OA\bot mp(Oyz)\Rightarrow OB'\bot OA$ mà $OB'\bot DB$
Vậy $\overrightarrow{OB'}//[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{DB} ]=(0;ad;a^2)=a(0;d;a) $
Do đó mặt phẳng $(OA'B')$ có cặp vecto chỉ phương là: $(d;0;a)$ và $(0;d;a)$
Vecto pháp tuyến là: $(-ad;-ad;d^2)=-d(a;a;-d)$
Phương trình mặt phẳng $(OA'B'):ax+ay-dz=0$
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(OA'B')$ là: $\overrightarrow{n}=(a;a;-d)=\overrightarrow{DC} $ do đó $CD\bot mp(OA'B')$

b) $c{\rm{os}}(A'OB') = |c{\rm{os}}({\overrightarrow n _1},{\overrightarrow n _2})| = \frac{{|{{\overrightarrow n }_1}.{{\overrightarrow n }_2}|}}{{{{\overrightarrow {|n} }_1}|.|{{\overrightarrow n }_2}|}} = c{\rm{os}}{45^0} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$. Do đó:
$\begin{array}{l}
\frac{{|{a^2}|}}{{\sqrt {{d^2} + {a^2}} .\sqrt {{d^2} + {a^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\
\Leftrightarrow 2{a^2} = \sqrt 2 ({a^2} + {d^2})\\
\Leftrightarrow \sqrt 2 {a^2} = {a^2} + {d^2} \Leftrightarrow {d^2} = (\sqrt 2 - 1){a^2}\\
\Leftrightarrow d = \sqrt {(\sqrt 2 - 1)a}
\end{array}$

Bài 106397

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106397

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan