Bài 107699

Question

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AB=a, AC=2a$. Trên đường thẳng vuông góc $(ABC)$ tại $A$ lấy điểm $S$ sao cho $SA=3a. AD$ là đường cao $\Delta ABC; E, F$ là trung điểm $SB, SC; H$ là hình chiếu của $A$ trên $EF$
a) Chứng minh $H$ là trung điểm $SD$
b) Tính cosin góc giữa hai $mp(ABC), (ACF)$
c) Tính thể tích hình chóp $A.BCFE$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/11/2012 1:57:38 PM

Chọn hệ trục tọa độ $Axyz$, ta có: $A(0;0;0), B(a;0;0), C(0;2a;0),S(0;0;3a), E(\frac{a}{2};0;\frac{3a}{2}   ), F(0;a;\frac{3a}{2} )$

a) Ta có: $\overrightarrow{FE}=(\frac{a}{2};-a;0 )=\frac{a}{2}(1;-2;0) $
$\Rightarrow $ Phương trình tham số: $FE:\left\{ \begin{array}{l} x=t\\ y=a-2t\\z=\frac{3a}{2} \end{array} \right. $
$H\in FE\Rightarrow \overrightarrow{AH}=(t;a-2t;\frac{3a}{2} ) $
$\overrightarrow{FE}\bot \overrightarrow{AH}\Rightarrow \overrightarrow{FE}.\overrightarrow{AH}=0    $
$\Rightarrow \frac{a}{2}(1;-2;0)(t;a-2t;\frac{3a}{2} )=0\Leftrightarrow t=\frac{2a}{5} \Rightarrow H(\frac{2a}{5};\frac{a}{5};\frac{3a}{2}   ) $
$\overrightarrow{SH}.\overrightarrow{BC}=(\frac{2a}{5};\frac{a}{5};0 )(-a;2a;0) =0 $
$\Rightarrow SH\bot BC$
mà $SD\bot BC$ nên $H\in SD$
$\Rightarrow H$ là trung điểm $SD$ (do $EF$ là đường trung bình $\Delta SBC$)
$\Rightarrow D(\frac{4a}{5};\frac{2a}{5};0 )$

b) Ta có: $BC\bot (SAD)\Rightarrow FE\bot (SAD)$ (do $EF//BC)$
Mà $\left\{ \begin{array}{l} (SAD)\cap(ABC)=AD\\ (SAD)\cap(AEF)=AH \end{array} \right. \Rightarrow cos\varphi=|cos(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AH} )|$
Do $\overrightarrow{AH}=\frac{a}{10}(4;2;15), \overrightarrow{AD}=\frac{2a}{5}(2;1;0)    $
$\Rightarrow cos\varphi=\frac{|(4;2;15)(2;1;0)|}{\sqrt{16+4+225}\sqrt{2^2+1^2+0^2} }=\frac{2}{7} $

c) Ta có:
$\begin{array}{l}
{V_{{\rm{AS}}EF}} = \frac{1}{6}|{\rm{[}}\overrightarrow {{\rm{AS}}} {\rm{,}}\overrightarrow {AE} {\rm{]}}{\rm{.}}\overrightarrow {{\rm{A}}F} | = \frac{1}{6}\left| {\left[ {(0;0;3a),\left( {\frac{a}{2};0;\frac{{3a}}{2}} \right)} \right]\left( {0;a;\frac{{3a}}{2}} \right)} \right|\\
            = \frac{1}{6}\left| {\left( {0;\frac{{3{a^2}}}{2};0} \right)\left( {0;a;\frac{{3a}}{2}} \right)} \right| = \frac{{{a^3}}}{4}\\
{V_{{\rm{AS}}BC}} = \frac{1}{6}{\rm{AS}}.AB.AC = {a^3}\\
\Rightarrow {V_{A.BCEF}} = {V_{{\rm{AS}}BC}} - {V_{{\rm{AS}}EF}} = \frac{{3{a^2}}}{4}
\end{array}$

Bài 107699

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107699

1 Đáp án

Liên quan

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Lý thuyết liên quan