Bài 107685

Question

Cho hình thang vuông góc ở $A$ và $D, AB=AD=a, DC=2a$. Trên đường vuông góc với $(ABCD)$ tại $D$, lấy điểm $S$ sao cho $SD=a$
a) Các cạnh bên của hình chóp $S.ABCD$ là hình gì
b) Tính $d(D,(SAC)), d(AB,SC),$ góc $\varphi$ giữa $(SCD)$ và $(SAC)$
c) Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu qua $S,B,C,D$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/11/2012 11:52:00 AM

Chọn hệ trục tọa độ $Dxyz$ sao cho: $D(0;0;0), A(a;0;0), C(0;2a;0), S(0;0;a)\Rightarrow B(a;a;0)$

a) Dễ thấy $\Delta SAD, \Delta SCD$ vuông tại $D$
$\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{AB}=(a;0;-a).(0;a;0)=a\Rightarrow \Delta SAB $ vuông tại $A$
$\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{BC}=(a;a;-a).(-a;a;0)=a\Rightarrow \Delta SBC $ vuông tại $B$

b) Phương trình $(SAC): \frac{x}{a}+\frac{y}{2a}+\frac{z}{a}=1 \Leftrightarrow 2x+y+2z-2a=0 $
$\Rightarrow d(D,(SAC))=\frac{|-2a|}{\sqrt{4+1+4} }=\frac{2a}{3} $
$d(AB,SC) = \frac{{|{\rm{[}}\overrightarrow {AB} {\rm{,}}\overrightarrow {SC} {\rm{]}}{\rm{.}}\overrightarrow {{\rm{AS}}} |}}{{|{\rm{[}}\overrightarrow {AB} {\rm{,}}\overrightarrow {SC} {\rm{]}}|}} = \frac{{\left| {\left[ {(0;a;0),(0;2a; - a)} \right]( - a;0;a)} \right|}}{{\left| {\left[ {(0;a;0),(0;2a; - a)} \right]} \right|}} = a$
Tính $\varphi$
${\overrightarrow n _{(SAC)}} = (2;1;2),\,\,{\overrightarrow n _{(SCD)}} = \overrightarrow i = (1;0;0) \Rightarrow c{\rm{os}}\varphi = \frac{2}{{\sqrt {4 + 1 + 4} \sqrt 1 }} = \frac{2}{3}$

c) Phương trình mặt cầu $(S):x^2+y^2+Z^2-2\alpha x-2 \beta y- 2 \gamma z=0 (do D\in (S))$

$S,B,C\in (S)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a^2-2\gamma a=0\\ 2a^2-2\alpha a-2 \beta a=0\\4a^2-4 \beta a=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \alpha =0\\ \beta =a\\\gamma = \frac{a}{2} \end{array} \right. \Rightarrow I(0;a;\frac{a}{2} )$
$\Rightarrow I$ là trung điểm $SC$
$R=\sqrt{a^2+(\frac{a}{2} )^2} =\frac{a\sqrt{5} }{2} $

Bài 107685

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107685

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan