Bài 107668

Question

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có: $AB=a,AD=2a,AA'=a, M$ trên $AD$ sao cho $\frac{AM}{MD} =3$
a) Tính khoảng cách giữa $AD'$ và $B'C$ và khoảng cách từ $M$ đến $mp(AB'C)$
b) Tính thể tích khối tứ diện $AB'D'C$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/11/2012 10:51:03 AM

a) Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như sau:
- Gốc $O\equiv A$
- Trục $Ox$ đi qua $AB$
- Trục $Oy$ đi qua $AD$
- Trục $Oz$ đi qua $AA'$

Khi đó: $A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;2a;0), D(0;2a;0), D'(0;2a;a), B'(a;0;a)$
Ta có: $B'C//A'D\Rightarrow B'C//(AA'D'D)$ chứa $A'D$
$\Rightarrow $ Khoảng cách giữa $B'C$ và $A'D$ là khoảng cách từ $B'$ đến mặt phẳng $(AA'D'D)$ mà $B'A'\bot (AA'D'D)$
$\Rightarrow d(B',(AA',(AA'D'D))=B'A'=a$. Vậy $d(AD',B'C)=a$

Tính khoảng cách từ $M$ đến $(AB'C):$
Ta có: $\overrightarrow{AB'}=(a;0;a) $ hay $(1;0;1); \overrightarrow{AC}=(a;2a;0) $ hay $(1;2;0)$
$\Rightarrow $ Vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AB'},\overrightarrow{AC} ]=(-2;1;2) $
$\Rightarrow $ Phương trình $(AB'C)$ qua $A(0;0;0):-2x+y+2z=0$
$\Leftrightarrow 2x-y-2z=0\Rightarrow d(M,(AB'C))=\frac{|-\frac{3a}{2} |}{\sqrt{9} } =\frac{a}{2} $

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}=(a;0;a), \overrightarrow{AC}=(a;2a;0), \overrightarrow{AD}=(0;2a;a) $
$\Rightarrow [\overrightarrow{AB'},\overrightarrow{AC} ]=(-2a^2;a^2;2a^2)=2a^3+2a^3=4a^3$
$\Rightarrow V=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{AB'},\overrightarrow{AC} ].\overrightarrow{AD'} |=\frac{1}{6}4a^3=\frac{2a^3}{3}$ (đvdt)

Bài 107668

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107668

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan