Bài 107648

Question

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a\sqrt{2} $ tâm $O$. Trên tia $Oz\bot (ABCD)$ lấy điểm $S$ sao cho $mp(SAD)$ tạo với đáy một góc $\alpha $
a) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chug của $SA$ và $CD$
b) Mặt phẳng $(\beta )$ qua $AC$ và vuông góc $(SAD)$ chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/11/2012 10:18:33 AM

Gọi $I$ là trung điểm $AD$
Ta có: $\widehat{OIS}=\alpha \Rightarrow SO=OItan\alpha =\frac{a\sqrt{2} }{2}tan\alpha $
Chọn hệ trụ tọa độ $Oxyz$ sao cho: $O(0;0;0), A(a;0;0), B(0;a;0), S(0;0;\frac{a\sqrt{2} }{2}tan\alpha )\Rightarrow C(-a;0;0), D(0;-a;0)$

a) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{SA}=\frac{a}{2}(2;0;-\sqrt{2}tan\alpha ) \\ \overrightarrow{CD=a(1;-1;0)} \end{array} \right. $
$\Rightarrow $Phương trình tham số $SA:\left\{ \begin{array}{l} x=a+2t\\ y=0\\z=-\sqrt{2}tan\alpha.t   \end{array} \right. $
Phương trình tham số $CD:\left\{ \begin{array}{l} x=-a+t'\\ y=-t'\\z=0 \end{array} \right. $
Gọi $EF$ là đoạn vuông góc chung của $SA$ và $CD(E\in SA, F\in CD)$
$\Rightarrow E(a+2t;0;-\sqrt{2}.tan\alpha ),   F(-a+t';-t';0)$
$\Rightarrow \overrightarrow{EF}=(-2a+t'-2t;-t';\sqrt{2}t.tan\alpha ) $
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} EF\bot SA\\ EF\bot CD \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2(-2a+t'-2t)-2t.tan^2\alpha =0\\ -2a+t'-2t+t'=0 \end{array} \right. $
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=-acos^2\alpha \\ t'=asin^2\alpha \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} E(-acos2\alpha ;0;\frac{a\sqrt{2} }{2}sin2\alpha )\\ F(-acos^2\alpha ;-asin^2\alpha ;0) \end{array} \right. $
$EF=a\sqrt{2sin^4\alpha +2sin^2\alpha cos^2\alpha } =a\sqrt{2}sin\alpha $

b) Gọi $M=(\beta )\cap SD$ và $V_1=V_{MACD}, V_2$ là phần còn lại
Ta có: $V_2=V_{S.ABCD}-v_1$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{SA}=\frac{a}{2}(2;0;-\sqrt{2}tan\alpha ) \\ \overrightarrow{SD}=-\frac{a}{2}(0;2;\sqrt{2}tan\alpha )   \end{array} \right. $
$\Rightarrow \overrightarrow{n}_{(SAD)}=[(2;0;-\sqrt{2}tan\alpha),(0;2;\sqrt{2}tan\alpha ) ] =2\sqrt{2}(tan\alpha ;-tan\alpha ;\sqrt{2} ) $
$\Rightarrow \overrightarrow{n}_\beta =[\overrightarrow{n}_{(SAD)},\overrightarrow{AC} ]=[(tan\alpha ;-tan\alpha ;\sqrt{2} ),(1;0;0)]=(0;\sqrt{2};tan\alpha ) $
$\Rightarrow $ Phương trình $(\beta ):\sqrt{2}y+ztan\alpha =0 $
Phương trình tham số $SD:\left\{ \begin{array}{l} x=0\\ y=-a+2t\\z=\sqrt{2t}tan\alpha   \end{array} \right. $
$M=(\beta )\cap SD\Rightarrow M(0;\frac{-atan^2\alpha }{2+tan^2\alpha };\frac{a\sqrt{2}tan\alpha }{2+atn^2\alpha } )$
$\Rightarrow d(M,(ABCD))=\frac{a\sqrt{2}tan\alpha }{2+tan^2\alpha } $
$\Rightarrow V_1=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{2}tan\alpha }{2+tan^2\alpha }.a^2=\frac{a^3\sqrt{2}tan\alpha }{3(2+tan^2\alpha) } $
$\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SO.S_{ABCD}=\frac{a\sqrt{2} }{6}tan\alpha .2a^2=\frac{a^3\sqrt{2}\alpha }{3}   $
$\Rightarrow V_2=\frac{a^3\sqrt{2}tan\alpha (1+tan^2\alpha ) }{3(2+tan^2\alpha )} \Rightarrow \frac{V_1}{V_2} =\frac{1}{1+tan^2\alpha }=cos^2\alpha $

Bài 107648

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107648

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan