Bài 107624

Question

Cho tứ diện $SABC$ có $\Delta ABC$ vuông cân đỉnh $B, AB=a, SA\bot (ABC), SA=a\sqrt{2} $. Gọi $D$ là trung điểm của $AC$
1) Chứng minh khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ gấp đôi khoảng cách từ $D$ đến $(SBC)$
2) Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $A$ và vuông góc với $SC$, $(\alpha )$ cắt $SC, SB$ tại $M, N$
a. Chứng minh $\Delta AMN$ là thiết diện giữa $(\alpha )$ và tứ diện $SABC$
b. Tính thể tích hình chóp $SAMN$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/11/2012 8:56:29 AM

Trong $mp(ABC)$ vẽ $Ay\bot AB$
Chọn hệ trục tọa độ $Axyz$ sao cho: $A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), S(0;0;a\sqrt{2} )\Rightarrow D(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0 )$

$1)$ Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{BS}=(-a;0;a\sqrt{2} )=-a(1;0;-\sqrt{2} ) \\ \overrightarrow{BC}=(0;a;0)=a(0;1;0) \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow{n}_{(SBC)} =(\sqrt{2};0;1 )$
$\Rightarrow $ Phương trình $(SBC): \sqrt{2}(x-a)+Z=0 \Leftrightarrow \sqrt{2}x+z-a\sqrt{2}=0 $
$\Rightarrow d(A,(SBC))=\frac{|-a\sqrt{2} |}{\sqrt{3} }=\frac{a\sqrt{6} }{3}; \\ d(D,(SBC))=\frac{|\frac{a\sqrt{2} }{2}-a\sqrt{2} |}{\sqrt{3} }=\frac{a\sqrt{6} }{6}    $
Vậy $d(A,(SBC))=2d(D,(SBC))$

$2)$ Ta có: $\overrightarrow{SC}=(a;a;-a\sqrt{2} )=a(1;1;-\sqrt{2} ) $
$\Rightarrow \overrightarrow{n}_\alpha =(1;1;\sqrt{2} ) \Rightarrow $ phương trình $(\alpha ):x+y-\sqrt{2}z=0 $
Phương trình tham số $SB:\left\{ \begin{array}{l} x=a+t\\ y=0\\z=-\sqrt{2} t \end{array} \right. $ (qua $B$ và $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{BS}) $
Thay $x,y,z$ vào $(\alpha )$ ta có:
$a+t+2t=0\Rightarrow t=-\frac{a}{3} \Rightarrow N(\frac{2a}{3};0;\frac{a\sqrt{2} }{3} )$
$\Delta ASC$ vuông cân tại $A(AS=AC=a\sqrt{2} )$
$\Rightarrow M$ là trung điểm $SC\Rightarrow M(\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{2} }{2}   )$

a) Ta có: $\overrightarrow{NS}.\overrightarrow{NB}=(-\frac{2a}{3};0;\frac{2a\sqrt{2} }{3} )(\frac{a}{3};0;\frac{-a\sqrt{2} }{3} )=\frac{-2a^2}{3}<0   $
$\Rightarrow N\in SB,   M\in SC$
Vậy $\Delta AMN$ là thiết diện $(\alpha )$ với $SABC$

b) $V_{SAMN}=\frac{a}{6}|[\overrightarrow{AS},\overrightarrow{AM} ].\overrightarrow{AN} | $
                  $=\frac{1}{6}|[(0;0;a\sqrt{2} ),(\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{2} }{2}   )].(\frac{2a}{3};0;\frac{a\sqrt{2} }{3} )| $
                  $=\frac{1}{6} |(\frac{a^2\sqrt{2} }{2};-\frac{a^2\sqrt{2} }{2};0 )(\frac{2a}{3};0;\frac{a\sqrt{2} }{3} ) |=\frac{a^3\sqrt{2} }{18} $      (đvdt)

Bài 107624

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107624

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan