Bài 107614

Question

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A, D; AB=2AD=2a; CD=a$, góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABCD)$ bằng $60^0$ . Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $AD$. Biết mặt phẳng $(SBI)$ và $(SCI)$cùng vuông góc với mặt phẳng $ABCD$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.

score 0 · Answer 1

Vì $(SBI)$ và $(SCI)$ cùng vuông góc với đáy $ABCD$ nên giao tuyến $SI
\bot (ABCD)$.
Kẻ $IH \bot BC$
$\Rightarrow SH \bot BC$.

Ta có: $\widehat{SHI}=60^0$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SBC); (ABCD)$. Trong tam giác vuông $SIH$, ta có: $SI=IH \tan 60^0= IH \sqrt{3}$.
Gọi $M,N$ tương ứng là trung điểm của $AB,BC$. Vì $IN$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$ nên ta có :$IN=\frac{AB+CD}{2}=\frac{2a+a}{2}=\frac{3a}{2}$.
Ta có: $IH= IN \cos \widehat{HIN}=IN \cos \widehat{MCB} $ (do $ \widehat{MCB}, \widehat{HIN}$ là các góc có cạnh tương ứng vuông góc.)
$=\frac{3a}{2}\frac{MC}{BC}=\frac{3a}{2}\frac{2a}{\sqrt{4a^2+a^2}}=\frac{3a\sqrt{5}}{5}$.
Vậy $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}.SI=\frac{1}{3}\frac{(2a+a)2a}{2}.SH.\sqrt{3}=\frac{3a^3\sqrt{15}}{5}$ (đvtt).

Bài 107614

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107614

1 Đáp án

Liên quan

Tính gián tiếp thể tích khối chóp bằng công thức tỉ số thể tích

Lý thuyết liên quan