Bài 105702

Question

Cho hình chóp đều

$S.ABC$ đỉnh

$S$ có các cạnh đáy đều bằng

$a$ , đường cao hình chóp

$SH = h.$

$a$ ) Xác định thiết diện tạo bởi hình chóp với mặt phẳng (

$P$ ) qua cạnh đáy

$BC$ và vuông góc với cạnh bên

$SA.$

$b)$ Nếu tỉ số

$\frac{h}{a} = \sqrt 3$ thì mặt phẳng (

$P$ ) chia thể tích hình chóp theo tỉ số nào?

score 0 · Answer 1

$a$ . Vì

$SABC$ là hình chóp đều nên chân đường cao

$H$ của chóp là tâm tam giác đều

$ABC$

$AH$ cắt

$BC$ tại

$M$ thì

$M$ là trung điểm của

$BC$ và

$AH \bot BC$
Vì

$\Delta SBC$ cân tại

$S$ nên ta có

$SM\bot BC\Rightarrow BC\bot (SMA)\Rightarrow BC\bot SA$
Từ

$B$ kẻ

$BN\bot SA$ . Khi đó

$SA\bot BC$ và

$SA\bot BN (1)$
Mà

$BC$ và

$BN$ là

$2$ đường thẳng cắt nhau trong

$(BCN) (2)$
Từ

$(1),(2)\Rightarrow SA\bot (BCN)$
Vậy

$\Delta BCN$ là thiết diện cần tìm

$b.$
Nhận thấy : thiết diện chia chóp thành hai tứ diện có chung đáy

$(BCN)$ và các đường cao là

$AN$ và

$SN$ .Như vậy tỉ số hai thể tích bằng tỉ số hai đường cao.
Ta có :

$\Delta SAH \sim \Delta MAN$ nên

$AN.AS=AH.AM (*)$
Do

$\Delta ABC$ đều cạnh

$a$ nên

$AM=\frac{a\sqrt{3} }{2} \Rightarrow AH=\frac{a}{\sqrt{3} }$
Theo giả thiết

$h=a\sqrt{3}$
Ta có

$SA^2=AH^2+SH^2=\frac{10}{3} a^2.$
Từ

$(*)\Rightarrow \frac{AN}{SA} =\frac{AH.AM}{SA^2} =\frac{3}{20}$

$\Rightarrow \frac{AN}{SN} =\frac{AN}{SA-AN} =\frac{3}{20-3}=\frac{3}{17}$
Vậy tỉ lệ thể tích là

$\frac{V_{(ANBC)}}{V_{(SNBC)}} =\frac{3}{17}$
ĐS:

$\frac{3}{17}$

Bài 105702

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105702

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan