Bài 107614

Question

Cho hình chóp

$S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại

$A, D; AB=2AD=2a; CD=a$ , góc giữa hai mặt phẳng

$(SBC)$ và

$(ABCD)$ bằng

$60^0$ . Gọi

$I$ là trung điểm của cạnh

$AD$ . Biết mặt phẳng

$(SBI)$ và

$(SCI)$ cùng vuông góc với mặt phẳng

$ABCD$ . Tính thể tích khối chóp

$S.ABCD$ .

score 0 · Answer 1

Vì

$(SBI)$ và

$(SCI)$ cùng vuông góc với đáy

$ABCD$ nên giao tuyến

$SI \bot (ABCD)$ .
Kẻ

$IH \bot BC$

$\Rightarrow SH \bot BC$ .

Ta có:

$\widehat{SHI}=60^0$ là góc giữa hai mặt phẳng

$(SBC); (ABCD)$ . Trong tam giác vuông

$SIH$ , ta có:

$SI=IH \tan 60^0= IH \sqrt{3}$ .
Gọi

$M,N$ tương ứng là trung điểm của

$AB,BC$ . Vì

$IN$ là đường trung bình của hình thang

$ABCD$ nên ta có :

$IN=\frac{AB+CD}{2}=\frac{2a+a}{2}=\frac{3a}{2}$ .
Ta có:

$IH= IN \cos \widehat{HIN}=IN \cos \widehat{MCB}$ (do

$\widehat{MCB}, \widehat{HIN}$ là các góc có cạnh tương ứng vuông góc.)

$=\frac{3a}{2}\frac{MC}{BC}=\frac{3a}{2}\frac{2a}{\sqrt{4a^2+a^2}}=\frac{3a\sqrt{5}}{5}$ .
Vậy

$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}.SI=\frac{1}{3}\frac{(2a+a)2a}{2}.SH.\sqrt{3}=\frac{3a^3\sqrt{15}}{5}$ (đvtt).

1 Đáp án