1. Ta có mặt phẳng (AA′D′D)//(BB′C′C) và AD′∈(AA′D′D),B′C∈(BB′C′C) nên khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau A′D và B′C bằng khoẳng cách giữa hai mặt phẳng song song (AA′D′D)va(BB′C′C) nghĩa là bằng AB=a (Lưu ý có thể thấy rằng đườngvuông góc chung của AD′ và B′C là đường nối các trung điểm của chúng)
2. Ta có AC và BD cắt nhau tại O là trung điểm của mỗi đường, do đó
d(D,(AB′C))=d(B,(AB"C))
(kí hiệu d(M,P) là khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)).
Mặt khác vì MA=34DA nênd(M,(AB′C))=34d(D,(AB′C))=34d(B,(AB′C))
Kẻ BH⊥AC,BK⊥B′H,ta cóAC⊥(BB′H) nên AC⊥BK⇒BK⊥(AB′C)
do đó d(M,(AB′C))=34BK(1)
Trong tam giác vuông ABC có
1BH2=1BA2+1BC2=1a2+14a2=54a2
Trong tam
giác vuông BB′H:
1BK2=1BH2+1BB′2=54a2+1a2=94a2⇒BK=2a3
Vậy d(M,(AB′C))=34BK=34.2aa=a2
3. Tính thể tích tứ diện AB′D′C
Nối BD′ cắt B′O tại E ta có:
D′EEB=B′D′BO=2 (vì B′D′//BO)
⇒d(D′,(AB′C))=2d(B,(AB′C))
⇒VD′.AB′C=2VB.AB′C (hai hình chóp có chung đáy AB′C)
Ta có
VB.AB′C=13BB′.SABC=16BB′.BA.BC=16a.a.2a=a33 (đvdt)
ĐS : V=2a33