Bài 107569

Question

Cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc nhau có giao tuyến là đường thẳng $\Delta $. Trên $\Delta $ lấy hai điểm $A, B$ với $AB=$a. Trong $(P)$ lấy điểm $C$, trong mặt phẳng $(Q)$ lấy điểm $D$ sao cho $AC$ và $BD$ cùng vuông góc với $\Delta $ và $AC=BD=AB=a$
a) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$
b) Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(BCD)$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/9/2012 11:58:24 AM

a)   Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như sau:
-Gốc $O\equiv A$
-Trục $Ox//BD$
-Trục $Oy$ đi qua $AB$
-Trục $Ox$ đi qua $AC$

Khi đó: $A(0;0;0), B(0;a;0), C(0;0;a),D(a;a;0)$
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ qua $A$ có phương trình
$(S):x^2+y^2+z^2-2a'x-2b'y-2c'z=0$
Ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l} B\in (S)\\ C\in (S)\\D\in(S) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a^2-2b'a=0\\ a^2-2c'a=0\\2a^2-2a'a-2b'a=0 \end{array} \right. $ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} b'=\frac{a}{2} \\ c'=\frac{a}{2} \\a'\frac{a}{2} \end{array} \right.$
$R=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}   }=\frac{a\sqrt{3} }{2} $

b) Mặt phẳng $(BCD)$ có cặp vecto chỉ phương là: $\overrightarrow{BC}=(0;-a;a), \overrightarrow{BD}=(a;0;0) $
$\Rightarrow $ vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} ] =(0;a^2;a^2)$ hay $(0;1;1)$
$\Rightarrow $ phương trình tổng quát của $(BCD):y-a+z=0\Leftrightarrow y+z-a=0$
$d(A,(BCD))=\frac{|-a|}{\sqrt{2} }=\frac{a}{\sqrt{2} }=\frac{a\sqrt{2} }{2}   $

Bài 107569

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107569

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan